Monster

Sumber: superbwallpapers.com

Sumber: superbwallpapers.com

Kita tahu di  jam (analog) terdapat 12 angka dimulai dari 1 sampai 12. Di jam berlaku aritmatika jam, contohnya 9 + 6 = 3 artinya jika jarum pendek menunjuk angka 9 maka 6 jam kemudian akan menunjuk angka 3. Inilah yang saya maksud aritmatika jam. Nah.. 12 angka yang dilengkapi dengan aritmatika jam adalah contoh dari Grup Sederhana Berhingga (GSB). Konsepnya mungkin terdengar sepele tetapi berkembang menjadi hutan belantara Matematis nan lebat. Selama puluhan tahun para Matematikawan berusaha menenemukan dan mengkelompokkan semua GSB. Pada tahun 1982, Robert Griess mengkontrusikan suatu GSB yang teramat beesaarrr sekali yang mempunyai anggota sebanyak

808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000 anggota

itu lebih besar dari 8 × 1053. Oleh karena yang anggotanya yang buanyak buanget, GSB yang dikontrusikan oleh om Griess dinamakan Monster. Selain jumlah angotanya yang berjibun ternyata Monster berada di dimensi yang amat tinggi yaitu di dimensi 196.883.

Jadi siapa bilang matematika hanya berurusan dengan angka-angka, Matematika juga berurusan dengan Monster.

Referensi: Richard E. Borcherds. What is The Monster?

x^y=y^x

x^y=y^x

Jelas, jika x=y, apapun bilangan, minumnya teh botol sosro akan selalu memenuhi persamaan diatas tetapi itu sama sekali tidak menarik. Dengan mudah diketahui 2^4=4^2, dengan kata lain 2 dan 4 adalah solusi pasangan bilangan bulat berbeda dari persamaan diatas. Nah..sekarang pertanyaannya adalah solusi pasangan bilangan bulat berbeda selain 2 dan 4?

Diasumsikan x dan y adalah bilangan bulat, diperoleh bilangan rasional k=y/x. itu berarti y=kx, masukkan ke persamaan diperoleh

x^{kx}=\left(kx\right)^{x}

\left(x^{k}\right)^{x}=\left(kx\right)^{x}

berakibat

x^{k}=kx

x^{k-1}=k

Kita mendapatkan solusi umum

{\displaystyle x=k^{\frac{1}{k-1}},\: y=k\cdot k^{\frac{1}{k-1}}=k^{\frac{k}{k-1}}}

Karena k adalah bilangan rasional maka \frac{1}{k-1} adalah bilangan rasional juga. Diasumsikan  \frac{p}{q}=\frac{1}{k-1} dalam bentuk yang paling sederhana, dengan kata lain p dan q relatif prima. Diperoleh:

k-1=\frac{q}{p},\: k=\frac{p+q}{p},\,\frac{k}{k-1}=\frac{p+q}{q}

Masukkan ke solusi umum, diperoleh:

{\displaystyle x=\left(\frac{p+q}{p}\right)^{p/q},\, y=\left(\frac{p+q}{p}\right)^{\frac{p+q}{q}}}

Kita mengininkan x dan y adalah bilangan bulat maka haruslah (p+q)/p, p/q dan (p+q)/q juga merupakan bilangan bulat. Karena p dan q relatif prima maka p+q juga relatif prima terhadap p dan q.  So satu-satunya kemungkinan hanyalah p = q = 1.

Oh sekarang jelas sudah bahwa

{\displaystyle x=\left(\frac{1+1}{1}\right)^{1/1}=2,\, y=\left(\frac{1+1}{1}\right)^{\frac{1+1}{1}}=4}

Satu-satunya pasanangan bilangan bulat berbeda yang menjadi solusi dari persamaan diatas.

Kelipatan 13

Saya pernah membahas soal-soal yang terdapat di BSE matematika kelas 7 kurikulum 2013, kali ini saya kembali melakukan hal yang sama. Cukup satu soal yang akan saya bahas yaitu soal no 9  di hal 124.

kelipatan 13

Dinotasikan S=1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+4^{2001}+5^{2001}+\ldots+2001^{2001}. Untuk mengerjakan soal no 8 ini yang saya lakukan adalah mengkonversikan S didalam  \mathbb{Z}_{13} lalu membuktikan bahwa S=0\in\mathbb{Z}_{13}.

Kita akan menggunakan teorema kecil Fermat

Teorema Kecil Fermat: Untuk sebarang bilangan bulat a dan p prima yang bukan merupakan faktor dari a maka berlaku a^{p-1}\equiv1\pmod p

Diketahui 13 adalah prima maka berdasarkan Teorema kecil Fermat untuk setiap bilangan bulat a yang tidak habis dibagi 13 berlaku a^{12}\equiv1\pmod {13}.

Diketahui pula 2001=166\cdot12+9 diperoleh

a^{2001}=a^{\left(166\cdot12\right)+9}=a^{166\cdot12}a^{9}\equiv a^{9}\pmod {13}

Sekarang, kita bisa menuliskan S di dalam \mathbb{Z}_{13} sebagai berikut:

\begin{array}{ccc}    S & = & 1^{9}+2^{9}+3^{9}+4^{9}+5^{9}+6^{9}+7^{9}+8^{9}+9^{9}+10^{9}+11^{9}+12^{9}+0+\ldots+10^{9}+11^{9}+12^{9}\\    & = & 1^{9}+2^{9}+3^{9}+4^{9}+5^{9}+6^{9}+7^{9}+8^{9}+9^{9}+10^{9}+11^{9}+12^{9}+\ldots+10^{9}+11^{9}+12^{9}    \end{array}

Dinotasikan s_{12}=1^{9}+2^{9}+3^{9}+4^{9}+5^{9}+6^{9}+7^{9}+8^{9}+9^{9}+10^{9}+11^{9}+12^{9}, diatas terlihat bahwa S hanya perulangan dari  s_{12}. Jadi untuk membuktikan S=0, cukup dibuktikan  s_{12}=0.

Jika g adalah primitive root dari modulo 13 maka  \left\{ 1,2,3\ldots,12\right\} dapat ditulis dalam bentuk \left\{ g^{0},g^{1},g^{3}\ldots,g^{11}\right\} . diperoleh:

\begin{array}{ccc}    s_{12} & = & 1^{9}+2^{9}+\ldots+12^{9}\\    & = & g^{0\cdot9}+g^{1\cdot9}+\ldots+g^{11\cdot9}\\    & = & 1+q+q^{2}+\ldots+q^{11}    \end{array}

dengan q=g^9.

Kita mendapatkan deret geometri dengan 12 suku pertama 1 dan r=q, diperoleh

Continue reading

Center dan Centralizer, Apa Bedanya?

teori GrupCenter dan centralizer, dua definisi pada Teori Grup yang pengertianya mirip-mirip dan sering membuat orang bingung membdekan keduanya. Melalui postingan ini, saya akan menjelasa perbedaannya keduanya. Oya literatur yang saya pakai adalah Abstract Algebra, Grillet. Literatur utama saya ketika skripsi dulu.

kita bahas Centralizer terlebih dahulu.

Definisi 1: Untuk sebarang, grup G, Centralizer pada G dari suatu x\in G adalah

C_{G}\left(x\right)=\left\{ g\in G|gx=xg\right\}

Untuk suatu x\in G maka C_{G}\left(x\right) adalah himpunan bagian tak-kosong dari G yang berisikan elemen-elemen yang bersifat komutatif terhadap x.  Jika G adalah grup abelian maka jelas C_{G}\left(x\right)=G, untuk sebarang x\in G. Jika  G grup non-abelian maka e\in C_{G}\left(x\right), untuk sebarang  x\in G. Itulah sebabnya centralizer mustahil himpunan kosong, apapun grupnya, apapun elemen x yang dipilih pastilah elemen identitas termuat didalam centralizer. Karena elemen identitas bersifat komutatif terhadap semua elemen di grup, maka untuk sebarang grup G berlaku C_{G}\left(e\right)=G.

Jika Centralizer berisikan elemen-elemen yang komutatif terhadap suatu x\in G maka center berisikan elemen-elemen yang komutatif terhadap SEMUA   x\in G. Continue reading

Grup Topological

Di Matematika, salah satu cara mendapatkan konsep baru adalah menggabungkan 2 konsep yang sudah ada. Contohnya Topological Grup yang merupakan gabungan Grup dan Ruang Topologi. Grup Topological adalah suatu grup G yang dilengkapi topologi pada G dengan operasi binernya dan fungsi inversnya adalah fungsi kontinyu menurut topologi. Secara formal didefiniskan sebagai berikut:

Definisi: Grup Topological adalah grup G yang dilengkapi topologi pada G dan berlaku aksioma-aksioma berikut:

(i) Terdapat fungsi kontinyu  f:G\times G\rightarrow G yang didefiniskan f\left(g,h\right)=gh dengan G\times G dilengkapi dengan produk topologi

(ii) Terdapat fungsi invers kontinyu inv:G\rightarrow G yang didefinsikan inv\left(g\right)=g^{-1}.

Nah.. sekarang perhatikan aksioma (i) ekuivalent dengan pernyataan, untuk sebarang himpunan terbuka U\subseteq G dan g_{1}g_{2}\in U maka terdapat himpunan terbuka V_1,V_2 dengan g_{1}\in V_{1},g_{2}\in V_{2} dan V_{1}V_{2}=\left\{ v_{2}v_{2}| v_{1}\in V_{1}, v_{2}\in V_{2}\right\} \subseteq U. Sedangkan aksioma (ii) ekuivalent dengan menunjukkan untuk sebarang himpuan terbuka U\subseteq G maka U^{-1}=\left\{ g^{-1}|g\in U\right\} adalah himpunan terbuka juga.

Continue reading

Teorema Sylow

Teorema Lagrange menyatakan jika G grup berhingga dan H subgrup dari G maka order dari H akan membagi order dari G.

Pertanyaannya, apakah sebaliknya berlaku. Jika  G berorder n dan m membagi  n. Apakah akan selalau ada subgrup dari  G yang beroder m.

Jawabannya Tidak, contohnya: A_5 berorder 60 dan jelas 15 membagi 60 tetapi A_5 tidak mempunyai subgrup berorder 15.

Teorema Sylow memberikan kebalikan parsial dari Teorema Lagrange. Menurut teorema Sylow jika G berorder m maka akan terdapat subgrup berorder p^n dengan p prima dan p^n membagi m

Nah.. subgrup berorder p^n, dinamakan subgrup p-sylow.

Defenisi: Diberikan bilangan prima p, Suatu subgrup dinamaka p-subgrup jika berorder p^j unntuk suatu j\in\mathbb{N}. Sedangkan subgrup  p-sylow dari suatu grup hingga G berorder n adalah subgrup S  berorder  p^k dengan k\in\mathbb{N} berlaku p^{k}\mid n dan p^{k+1}\nmid n.

Jadi subgrup  p-sylow adalah p-subgrup maksimal dari suatu grup berhingga yang mempunyai pangkat terbesar yang membagi order dari grup berhingga tersebut. Teorema sylow menyatakan subgrup p-sylow itu eksis dan memberikan beberapa sifat dari subgrup p-sylow.

Continue reading

Barisan Komposisi dan Teorema Jordan-Hölder

Dalam Teori Bilangan, kita mengenal Teorema Fundamental aritmatika yang mengatakan setiap bilangan dapat dipecah menjadi faktor-faktor prima dan faktor-faktor prima tersebut tunggal.

Nah… pada teori grup ada konsep yang mirip.

Barisan Komposisi

Barisan komposisi adalah cara memecah grup menjadi grup-grup sederhana.

Definsi: Suatu grup dikatakan sederhana jika hanya mempunyai subgrup normal: \left\{ 1\right\} dan dirinya sendiri.

Karena hanya mempunyai subgrup normal: \left\{ 1\right\}  dan dirinya sendiri maka grup sederhana hanya mempunyai grup faktor: \left\{ 1\right\} dan dirinya sendiri. Serupa dengan bilangan prima, ya kan?

Sekarang kita lihat definisi formal dari barisan komposisi.

Definsi: Barisan komposisi dari suatu grup G adalah rantai berhinga dari subgrup:

\left\{ 1\right\} =G_{n}\vartriangleleft G_{n-1}\vartriangleleft\ldots\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft G_{0}=G

Yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

1. Untuk i=0,1,\ldots,n-1, berlaku  G_{n-1} adalah subgrup normal dari G_1

2. Grup faktor G_i/G_{i+1} adalah sederhana dan grup-grup faktor

G_{0}/G_{1},G_{1}/G_{2},\ldots,G_{n-1}/G_{n}, disebut komposisi faktor.

Nah..tidak semua grup mempunyai barisan komposisi lho.

Continue reading

Quasigrup dan Loop

Quasigrup

Kita tahu bahwa himpunan bilangan bulat Z yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan merupakan grup. Bagaimana jika diganti dengan operasi pengurangan.

Apakah (Z,-) merupakan grup?

Untuk menjawabnya tentunya kita harus mengecek (Z,-) memenuhi aksioma-aksioma dari grup, yaitu:

  • Operasi binernya bersifat asosiatif
  • Mempunyai elemen identitas
  • Setiap Elemennya mempunyai invers.

Pertama-tama kita lihat apakah operasi pengurangan itu asosiatif. Tidak, kita ambil counterexample nya

4-(2-2)=4 disisi lain  (4-2)-2=0

Karena operasi pengurang tidak asosiatif maka (Z,-) bukanlah Grup. Meskipun begitu kita akan tetap cek apakah  (Z,-) mempunyai elemen identitas dan invers.

Jika (Z,-) memepunyai elemen identitas e maka untuk sebarang bilangan bulat a berlaku

e-a=a-e=a

Mmm…kayaknya persamaan diatas hanya berlaku jika a=e=0. Itu berarti (Z,-) tidak mempunyai elemen identitas dan menyebabkan elemen-elemen di  (Z,-) tidak mempunyai invers.

Struktur  (Z,-) bukan juga merupakan semigrup karena aksioma dari semigrup adalah sifat asosiatif

Continue reading

Grup Fundamental

Konsep grup fundamental adalah salah satu konsep paling penting dalam topologi. Jika kita menganalogikan ruang topologi sebagai permukaan (surface) maka grup fundamental berjuan untuk mengetahui karakteristik dari permukaan tersebut dan melihat apakah 2 buah permukaan mempunyai karakter yang sama atau tidak

Bayangkan kalian mempunyai sebuah permukaan, permukaan apa? Bebas terserah kalian bissa permukaan bola, permukaan gelas, permukaan batu dan lain sebagainya. Selanjutnya pilih sebuah titik x_0 pada permukaan tersebut, tentunya kalin bisa menggambarkan putaran (loop) yang melalui titik x_0,  apa itu putaran? Yaitu sebuah lintasan yang berawal dan berkahir di titik x_0. Nah… karena titik x_0 merupakan awal dan akhir dari sebuah putaran maka  x_0 disebut BasePoint.

Secara formal putaran didefiniskan sebagai berikut:

Definisi: Diberikan ruang topologi X dan x_{0}\in X, sebuah fungsi kontinyu

f:\left[0,1\right]\rightarrow X

dengan sifat f\left(0\right)=x_{0}=f\left(1\right) disebut putaran dengan basepoint x_{0}\in X

Jadi putaran itu adalah sebuah fungsi kontinyu yang berawal dan berakhir pada titik yang sama.  Dua buah putaran f dan g dikatakan ekuivalen atau homotopic dinotasikan f\simeq g  jika putaran f bisa diubah bentuknya ( dengan cara: direnggangkan, di tarik, diperbesar, atau diperkecil) ke putaran g tanpa memotongnya, begitupula sebaliknya. Seacara formal 2 buah fungsi dikatakan homotopic jika terdapat fungsi kontinyu

h:\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\rightarrow X

dengan sifat untuk semua 0\leq t\leq1 berlaku

  • h\left(t,0\right)=f\left(t\right)
  • h\left(t,1\right)=g\left(t\right)
  • h\left(0,t\right)=x_{0}=h\left(1,t\right)

Continue reading

Lemma Zassenhaus sebgai generaliasasi dari Teorema Isomorfisma kedua

Pada postingan Lemma Zassenhaus, saya mengatakan

Lemma Zassenhaus merupakan generalisasi dari teorema isomorfisma kedua.

Tanpa ada penjelasan lebih lanjut dan ternyata hal tersebut membuat penasaran mbak Rossi Fauzi. Postingan saya kali ini merupakan penjelasan dari kata-kata saya tersebut.

Sekarang, mari kita lihat Lemma Zassenhaus dan Teorema Isomorfisma kedua

Lemma Zassenhaus: Diberikan grup G dengan A_{1}\trianglelefteq A\leq G dan B_{1}\trianglelefteq B\leq G maka berlaku:

  • A_{1}\left(A\cap B_{1}\right)\trianglelefteq A_{1}\left(A\cap B\right)
  • B_{1}\left(A_{1}\cap B\right)\trianglelefteq B_{1}\left(A\cap B\right)
  • {\displaystyle \frac{A_{1}\left(A\cap B\right)}{A_{1}\left(A\cap B_{1}\right)}\cong\frac{B_{1}\left(A\cap B\right)}{B_{1}\left(A_{1}\cap B\right)}\cong\frac{A\cap B}{\left[\left(A\cap B_{1}\right)\left(A_{1}\cap B\right)\right]}}

Teorema Isomorfisma kedua: Diberikan Grup G dengan S\leq G dan T\trianglelefteq G maka berlaku

  • ST\leq G
  • S\cap T\trianglelefteq G
  • {\displaystyle \frac{ST}{T}\cong\frac{S}{S\cap T}}

Nah…pada Lemma Zassenhaus, coba kalian ganti A=G, A_1=T, B=S dan B_1=S\cap T maka lemma tersebut akan menjadi Teorema Isomorfisma kedua. Silahkan kalian coba sendiri ya.

Nah.. mulai keliatankan letak generalisasinya. Jadi Teorema Isomorfisma kedua merupakan bentuk khusus dari Lemma Zassenhaus, ketika G=A, dan B_1= B\cap A_1.

***

Mmm… postingan yang pendek dengan judul yang panjang, bukan? :)

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com **