Memperoleh rumus volume dan luas permukaan Bola

Postingan kemarin, saya membahas bagaimana rumus volume limas diperoleh. Sekarang saya akan membahas bagaimana rumus volume bola {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}  diperoleh.

Diketahui  persamaan lingkaran dengan jari-jari r dengan titik pusat berada di titik asal pada kordinat kartesius adalah

x^2+y^2=r

solusi untuk y:

y=\pm\sqrt{r^{2}-x^{2}}

Sekarang perhatikan setengah lingkaran bagian atas

y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}

fungsi y=\sqrt{r^{2}-r^{2}} kontinyu pada interval \left[-r,r\right]. Jika setengah lingkaran tersebut diputar, kita akan mendapatkan bola. Gunakan metode cakram untuk memperoleh volumenya.

V=\pi\int_{-r}^{r}y^{2}dx

V=\pi\int_{-r}^{r}\left(\sqrt{r^{2}-x^{2}}\right)^{2}dx

v=\pi\int_{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx

V=\pi r^{2}x-\pi\frac{1}{3}x^{3}|_{x=-r}^{x=r}

V=\left(\pi r^{2}r-\pi\frac{1}{3}r^{3}\right)-\left(\pi r^{2}\left(-r\right)-\pi\frac{1}{3}\left(-r\right)^{3}\right)

V=2\pi r^{3}-\frac{2}{3}\pi r^{3}

{\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}

Voila, kita mendapatkan rumus volume bola.

Selanjutnya kita akan membahas rumus luas permukaan Bola 4\pi r^{2}

Darimana rumus luas permukaan bola diperoleh?

Bayangkan sebua bola dengan jari-jari r tersusun dari potongan-potongan berbentuk limas sebanyak n→∞. Semua limas mempunyai tinggi r dan mempunyai titik puncak di titik pusat bola perhatikan gambar dibawah

Jadi permukaan bola tersusun dari alas-alas limas. Misalkan luas permukaan alas limas dari yang pertama sampai ke-n adalah L_{1},L_{2}\ldots,L_{n} maka luas permukaan bola adalah penjumlahan semua luas alas limas.

LB=L_{1}+L_{2}+\ldots+L_{n}.

Karena bola tersusun dari potongan-potongan limas maka volume bola adalah hasil penjumlahan semua volume limas.

V=\frac{1}{3}rL_{1}+\frac{1}{3}rL_{2}+\ldots+\frac{1}{3}rL_{n}

V=\frac{1}{3}r\left(L_{1}+L_{2}+\ldots+L_{n}\right)

V=\frac{1}{3}rLB

Telah kita bahas diatas bahwa volume bola adalah {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}}

\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{1}{3}rLB

4\pi r^{2}=LB

Voila kita mendapatkan rumus permukaan bola 4\pi r^{2}.

Sumber gambar: mathschallenge.net dan proofwiki.org

13 thoughts on “Memperoleh rumus volume dan luas permukaan Bola

  1. maaf sebelumnya,sya belum mengerti yg mencari luas permukaan nya.. bisa dijelaskan cara perhitungan dari 1/3rLB jadi 3/4 phi r(kubik)..

  2. Maaf, mas, saya bukan praktisi matematika, walaupun saya suka matematika. Saya mampir ke situs ini aja karena PR anak saya. :)

    Saya tidak mengomentari materi sampeyan, karena menurut saya, materinya bagus-bagus. Cuma ada satu yang agak mengganjal, yaitu ucapan ‘VIOLA’ di akhir postingan. Menurut pengetahuan saya yang terbatas, seharusnya bunyinya ‘VOILA’. Itu-pun kata guru bahasa Perancis saya belasan tahun yang lalu :D.

    Sebelumnya mohon maaf.

  3. Pingback: Memperoleh rumus volume dan luas permukaan Bola « Erli Oktafia Silitonga's Weblog

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s