Teorema Titik Tetap Brouwer

Bayangkan ada sebuah gelas berisi air yang tenag, diam tak bergerak. Kita tahu air terdiri dari molekul-molekul H2O. Selanjutnya kita aduk gelas tersebut lalu tunggu sampai air kembali tenang. Pertanyaannya, apakah semua molekuk air berpindah posisi? dengan kata lain apakah posisi semua molekul air sebelum diaduk dan sesudah itu berbeda? Tidak, ada molekul air yang tidak berpindah posisi yang posisisnya tetap baik sebelum maupun seseudah diaduk.

Bagaimana bisa begitu?

Itu dikarenakan Teorema titik tetap Brouwer

Teorema Titik Tetap Brouwer (TTTB) : Diberikan B^{n}=\left\{ x\in\mathbb{R}^{n},\left\Vert x\right\Vert \leq1\right\} bola unit tertutup pada ruang euclid \mathbb{R}^{n} maka setiap fungsi kontinyu f:B^{n}\rightarrow B^{n} terdapat titik tetap yaitu titik x dengan  f\left(x\right)=x

Secara sederhana TTTB mengatakan jika kita punya bola pejal yang berisikan titik-titik yang tak hingga banyak. Kemudian kita aduk-aduk, kita obok-obok isi bola tersebut maka terdapat titik yang  posisinya tetap tidak berubah. Inilah yang disebut dengan titik tetap, titik tetap tidak harus tunggal bisa saja lebih dari satu. TTTB berlaku pada dimensi berapapun, bola pejal berdimensi 37 pun berlaku TTTB meskipun kita sulit membayangkan bola berdimesi 37.  TTTB juga berlaku pada apapun yang homeomorphic ke bola pejal, itu berati TTB juga belaku pada kubus pejal ataupun piramida pejal.  Akan tetapi TTTB tidak belaku pada bola terbuka (tidak mempunyai kulit). Pada dimensi satu, TTTB ekuivalen dengan Teorema Nilai Tengah.

Fungsi kontinyu f pada TTTB tidak harus bijektif atau injektif, pokoknya yang penting kontinyu.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s