Lemma Zassenhaus (Lemma Kupu-kupu)

Posted on February 10, 2011 by Nursatria

Lemma Zassenhaus: Diberikan grup G dengan A_{1}\trianglelefteq A\leq G dan B_{1}\trianglelefteq B\leq G maka berlaku:

  • A_{1}\left(A\cap B_{1}\right)\trianglelefteq A_{1}\left(A\cap B\right)
  • B_{1}\left(A_{1}\cap B\right)\trianglelefteq B_{1}\left(A\cap B\right)
  • {\displaystyle \frac{A_{1}\left(A\cap B\right)}{A_{1}\left(A\cap B_{1}\right)}\cong\frac{B_{1}\left(A\cap B\right)}{B_{1}\left(A_{1}\cap B\right)}\cong\frac{A\cap B}{\left[\left(A\cap B_{1}\right)\left(A_{1}\cap B\right)\right]}}

Lemma Zassenhaus sering disebut lemma Kupu-kupu, karena jika digambarkan dalam bentuk diagram akan menyerupai kupu-kupu

Bagaimana mirip kupu-kupu, tidak? Jujur, menurut saya tidak 🙂 . Pada diagram diatas, ujung bawah garis adalah subgrup dari ujung atasnya. Sedangkan garis-garis biru menunjukan ujung bawah merupakan subgrup normal dari ujung atasnya dan juga isomorfisma:

{\displaystyle \frac{A_{1}\left(A\cap B\right)}{A_{1}\left(A\cap B_{1}\right)}\cong\frac{B_{1}\left(A\cap B\right)}{B_{1}\left(A_{1}\cap B\right)}\cong\frac{A\cap B}{\left[\left(A\cap B_{1}\right)\left(A_{1}\cap B\right)\right]}}

Dari diagram diatas, bisa kita lihat bahwa isomorfisma tersebut simetris dalam artian sisi kanan diperoleh dari sisi kiri dengan menukar simbol A dengan B.

Bukti:

Karena B_{1}\trianglelefteq B maka untuk menunjukan B_{1}\left(A_{1}\cap B\right)\trianglelefteq B_{1}\left(A\cap B\right) cukup menunjukkan \left(A_{1}\cap B\right)\trianglelefteq \left(A\cap B\right). Untuk menunjukkannya, kita harus menunjukkan: jika c\in\left(A_{1}\cap B\right) dan x\in\left(A\cap B\right) maka xcx^{-1}\in\left(A_{1}\cap B\right). Diketahui A_{1}\trianglelefteq A maka xcx^{-1}\in A_{1} dengan c\in A_{1} dan x\in A tapi juga xcx^{-1}\in B karena c,x\in B. Dengan cara yang sama kita menunjukkan \left(A\cap B_1\right)\trianglelefteq \left(A\cap B\right).

Oleh karena \left(A\cap B_1\right)\trianglelefteq \left(A\cap B\right) dan \left(A_{1}\cap B\right)\trianglelefteq \left(A\cap B\right) merupakan subgrup normal maka jelas \left(A_{1}\cap B\right)\left(A\cap B_{1}\right)\trianglelefteq A\cap B karena dibangun dari 2 subgrup normal

Selanjutnya akan ditunjukan

{\displaystyle \frac{A_{1}\left(A\cap B\right)}{A_{1}\left(A\cap B_{1}\right)}\cong\frac{B_{1}\left(A\cap B\right)}{B_{1}\left(A_{1}\cap B\right)}\cong\frac{A\cap B}{\left[\left(A\cap B_{1}\right)\left(A_{1}\cap B\right)\right]}}.

Karena simetri maka cukup ditunjukkan {\displaystyle \frac{A_{1}\left(A\cap B\right)}{A_{1}\left(A\cap B_{1}\right)}\cong\frac{A\cap B}{\left[\left(A\cap B_{1}\right)\left(A_{1}\cap B\right)\right]}}.

Diberikan pemetaan

\varphi:A_{1}\left(A\cap B\right)\rightarrow\left(A\cap B\right)/D

dengan D=\left(A_{1}\cap B\right)\left(A\cap B_{1}\right), didefiniskan \varphi\left(ax\right)=xD dengan a\in A_{1} dan x\in\left(A\cap B\right). Selanjutnya akan ditinjukan Pemetaan \varphi well-defined dan homomorfisma.

Diberikan a_{1},a_{2}\in A_{1} dan x_{1},x_{2}\in A\cap B. Jika a_{1}x_{1}=a_{2}x_{2} maka

a_{2}^{-1}a_{1}=x_{2}x_{1}^{-1}\in A_{1}\cap\left(A\cap B\right)=A_{1}\cap B\subseteq D

Jadi x_1D=x_2D, terbukti \varphi well-defined.

Karena A_1 normal didalam A, maka terdapat a_{2}\in A_{1} sedemikian hingga x_1a_2=a_3x_1, diperoleh:

\varphi\left(\left(a_{1}x_{1}\right)\left(a_{2}x_{2}\right)\right)=\varphi\left(\left(a_{1}a_{3}\right)\left(x_{1}x_{2}\right)\right)=\left(x_{1}x_{2}\right)D

=\left(x_{1}D\right)\left(x_{2}D\right)=\varphi\left(a_{1}x_{1}\right)\varphi\left(a_{2}x_{2}\right)

Terbukti \varphi homomorfisma.

Jelas \varphi surjektif. Terakhir, jika a\in A_{1} dan x\in A\cap B maka \varphi\left(ax\right)=xD=D. Itu berarti x\in D, atau dengan kata lain

ax\in A_{1}D=A_{1}\left(A_{1}\cap B\right)\left(A\cap B_{1}\right)=A_{1}\left(A\cap B_{1}\right).

Itu berarti \ker\varphi=A_{1}\left(A\cap B_{1}\right). Dengan menggunakan Teorema isomorfisma pertama diperoleh

{\displaystyle \frac{A_{1}\left(A\cap B\right)}{A_{1}\left(A\cap B_{1}\right)}\cong\frac{A\cap B}{\left[\left(A\cap B_{1}\right)\left(A_{1}\cap B\right)\right]}}.

QED

Boleh dibilang Lemma Zassenhaus merupakan generalisasi dari teorema isomorfisma kedua.

Notasi

A\leq B : A subgrup dari B

A\trianglelefteq B : A subgrup normal dari B

\frac{A}{B} : Grup Koesen

A\cong B : A dan B isomorphic

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com **

 

 

About Nursatria

Seorang Alumnus Matematika UGM, dengan ilmu yang didapat ketika kuliah (Padahal sering bolos kuliah :p ), saya menyebarkan virus matematika
This entry was posted in aljabar abstrak and tagged , , , . Bookmark the permalink.

4 Responses to Lemma Zassenhaus (Lemma Kupu-kupu)

  1. miftah says:
    March 10, 2013 at 10:20

    ka’ mau nanya donk..
    knapa untuk mmbuktikan A1(AnB1) subgrup normal dari A1(AnB) cukup dngan mmbuktikan (AnB1) subgrup normal dari (AnB)?
    mohon pnjlasan lbih lanjut. 🙂

    Reply
  2. rossi says:
    February 16, 2011 at 14:56

    ka’……… grup koesen itu sama g’ sma grup faktor ?

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar