Deret Harmonik

Pada postingan sebelumnya saya membahas bahwa deret  \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}} konvergen ke 2 atau dengan kata lain \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=2. Sekarang kita hilangkan kuadratnya sehingga deret tersebut menjadi

{\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots}

Deret diatas dikenal dengan nama Deret Harmonik

Apakah deret harmonik konvergen? Tidak, deret harmonik divergen

Bagaimana cara membuktikan kedivergenannya?

Ada banyak caranya tetapi saya akan memakai cara yang digunakan Honsberger (1976) Menurut saya cara yang dipakainya adalah cara yang paling sederhana dan mudah dipahami.

Diketahui \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}>\frac{2}{n+1} untuk n bilangan asli, andaikan deret harmonik konvergen ke S diperoleh

S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\ldots

S=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\ldots

S>\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\ldots

S>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\ldots

S>S

Jelas S>S suatu hal yang kontradiksi. Terbukti deret harmonik divergen.

QED

Untuk cara pembuktian lainnya silahkan unduh di sini

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

3 thoughts on “Deret Harmonik

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s