Kernel=Subgrup Normal

Lemma 1: Diberikan Homomorfisma grup \phi:G\rightarrow K maka kernel dari \phi

\ker\phi=\left\{ g\in G|\phi\left(g\right)=e\right\}

adalah Subgrup Normal dari G

Bukti: Kita harus membuktikan untuk sebarang x\in\ker\phi berlaku \phi\left(gxg^{-1}\right)=e

\phi\left(gxg^{-1}\right)

\phi\left(g\right)\phi\left(x\right)\phi\left(g^{-1}\right)

\phi\left(g\right)e\phi\left(g^{-1}\right)

\phi\left(g\right)\phi\left(g^{-1}\right)

\phi\left(g\right)\phi\left(g\right)^{-1}

e

Nah pertanyaannya sekarang bagaimana jika Lemma tersebut dibalik.

Apakah subgrup normal merupakan kernel?

Sempat berdiskusi dengan beberapa kawan, kawan saya menyatakan bahwa subgrup nomal belum tentu merupakan Kernel. Akan tetapi setelah saya ngobok-ngobok internet, saya menemukan jawabanyanya dari Planet Math, Subgrup Normal adalah Kernel

Lemma 2: Deberikan grup G dan N adalah subgrup normal-nya maka terdapat homomorfisma grup \phi:G\rightarrow K sedemikin hingga N=\ker\phi

Bukti: Mudah saja, kita ambil K adalah grup faktor G/N dan kita definisikan \phi:G\rightarrow G/N sebagai proyeksi natural dari G ke G/K (yaitu \phi memetakan g\in G ke koset gN) maka

\ker\phi=\left\{ g\in G|\phi\left(g\right)=eN\right\} =\left\{ g\in G|gN=N\right\} =N.

Ketika kuliah saya hanya diajarkan Kernel adalah Subgrup Normal tetapi tidak pernah diajarkan kalau sebaliknya juga berlaku. Jadi saya baru tahu Kernel=Subgrup Normal.

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com*

9 thoughts on “Kernel=Subgrup Normal

  1. Ehhmm… aku kok belum paham ya…

    misalnya kita punya bilangan real R group atas operasi penjumlahan +

    terus kita punya bilangan bulat Z subgroup dari R , dan Z adalah subgroup normal.

    Terus kalo didefinisikan homomorfisma \phi: R \rightarrow R , \phi (x) = x , maka ker(\phi) = \{0\} dan ker(\phi)=\{0\} \neq Z , kontradiksi sama pernyataanmu “Kernel=Subgrup Normal”

    mungkin yg dimaksud teorema di atas adalah, misalnya untuk contohku diatas kita bisa mengkonstruksikan homomorphisma \phi sedemikan sehingga ker(\phi) = Z , tapi g bisa langsung bilang kalo setiap subgroup normal pasti merupakan kernel atas sebarang homomorphisma.

    • Bukan begitu homomorfismanya tidak bisa sebarang, haruslah homomorfisma natural (atau disebut juga proyeksi natural)
      Diberikan sebarang grup G dan N subgrup normalnya maka akan terbentuk grup faktor G/N kemudian kita berikan homorfisma natural \phi dari G ke G/N, diperoleh \ker  \phi=N,
      Kata kuncinya adalah homomorfisma natural, dengan homomorfisma natural sebarang subgrup normal bisa kita pandang sebgai kernel

      • nah itu maksudku, soale kalo aku baca kesimpulannya jadi agak rancu, tiba2 kau bilang “Kernel=Subgrup Normal” seolah2 bertentangan dengan teorema di atasnya, karena di kalimat terakhir g disebutkan syarat2nya. Anyway, nice article

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s