Relasi ekuivalen, kelas ekuivalensi dan partisi

Konsep relasi pada Matematika serupa dengan pengertian relasi pada sehari-hari. AKan saya mulai dengan definisi formal relasi

Definisi 1: Suatu relasi (biner) pada himpunan S adalah himpunan bagian R dari produk cartesian S\times S. Jika R adalah suatu relasi dan \left(x,y\right)\in R maka dikatakan x berelasi ke y pada R atau singkatnya xRy

Contoh 2: boleh dibilang relasi yang paling dikenal adalah relasi “=” (Sama dengan) yang memut semua elemen  \left(x,x\right)\in S\times S

Contoh 3: Diberikan S=\left\{ 1,2,3\right\} dan R=< (kurang dari). Tuliskan semua elemen R.

Diperoleh

R=\left\{ \left(1,2\right),\left(1,3\right),\left(2,3\right)\right\}

Karena memuat semua elemen \left(x,y\right) dengan x<y

Nah..selanjutnya kita bahas relasi ekuivalen

Definisi 4: Suatu relasi R pada himpunan S dikatakan relasi ekuivalen jika memenuhi ketiga hal berikut

untuk semua x,y,z\in S

1. Reflexive xRx

2. Symmetry jika xRy maka yRx

3. Transitive Jika xRy dan yRz maka xRz

Contoh 5: Diberikan himpunan S=\left\{ 1,2,3\ldots,20\right\} dan relasi R pada S didefinisikan 4|\left(x-y\right). Akan ditunjukan R merupakan relasi ekuivalensi

(note: a|b artinya a membagi b)

1. Reflexive. Untuk sebarang x\in S diperoleh x-x=0, Jelas s|0, terbukti R bersifat Reflexive

2. Symmetry. Diketahui xRy maka 4|\left(x-y\right), yang artinya x-y=4n. Diperoleh y-x=-4n maka 4|\left(y-x=-4n\right). Dapat disimpulkan yRx

3. Transitive. Diketaui xRy dan yRz yang artinya

x-y=4n dan y-z=4m

Diperoleh

x-\left(z+4m\right)=4n

x-z=4n+4m= 4\left(n+m\right).

Itu artinya xRz. Terbukti R Transitive.

Terbukti R merupakan relasi ekuivale

Nah yang namanya relasi ekuivalen pastilah terdapat kelas ekuivalensi, ibarat 2 sisi mata uang yang tak terpisahkan. Apa itu kelas ekuivalensi?

Definisi: Diberikan R relasi ekuivalen pada S maka untuk semua a\in S dterdapat suatu himpunan yang berisikan semua anngota S yang berelasi ke a, dinotasikan:

\left[a\right]=\left\{ x\in S|aRx\right\}

Nah..himpunan inilah yang disebut kelas ekuivalensi

Contoh 6: Sekarang kita akan mencari kelas ekuivalensi dari contoh 5, kita akan memulai dari 1dan maju kedepan

\left[1\right]=\left\{ 1,5,9,13,17\right\}

\left[2\right]=\left\{ 2,6,10,14,18\right\}

\left[3\right]=\left\{ 3,7,11,15,19\right\}

\left[4\right]=\left\{ 4,8,12,16,20\right\}

Perhatikan bahwa kelas ekuivalensi lainnya akan sama dengan salah-satu kelas ekuivalensi diatas contohnya \left[1\right]=\left[5\right]. Itu artinya kita telah menemukan kelas-kelas ekuivalensi yang berbeda dari contoh 5.

Perhatikan juga bahwa himpunan  S=\left\{ 1,2,3\ldots,20\right\} terpecah menjadi 4 himpunan yang saling asing. Dengan kata lain kelas-kelas ekuivalensi membentuk partisi pada S

Teorema 7: Diberikan R relasi ekuivalen pada himpunan tak-kosong S maka kelas-kelas dari R akan mempartisi S

Nah..yang saya maksud dengan partisi adalah memecah/ membagi suatu himpunan S menjadi beberapa himpunan bagian tak-kosong  yang mana setiap elemen S tepat termuat di satu himpunan bagian. Himpunan bagian ini disibut sel dari partisi. Serupa dengan partisi hardisk, tentunya mustahil suatu file termuat di dua partisi hardisk yang berbeda.

Jadi relasi ekuivalen adalah cara kita mempartisi suatu Himpunan.  Menjadi “ekuivalen” itu berarti menjadi sama, serupa berdasarkan kriteria tertentu.

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungikaos.ariaturns.com**

11 thoughts on “Relasi ekuivalen, kelas ekuivalensi dan partisi

  1. numpang tanya, kalo smpat tlng di jawab ya…
    dari definisinya dikatakan bahwa x berelasi dengan y pada R. apakah R-nya harus didefinisikan(jelas)?
    makasih….

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s