Teorema Lagrange

Kita tahu bahwa suatu grup dikatakan berhingga jika ordernya berhingga. Jika grup G berhingga tentu saja subgrupnya berhingga pula. Nah..teorema Lagrange membahas hubungan grup berhingga dengan subgrupnya.

Pertama-tama akan saya tunjukan bahwa relasi ekuivalen bisa dikontruksikan dari sebarang subgrup.

Lemma: Diberikan H subgrup dari G dan x,y\in G

1) Relasi biner \mathcal{R} pada G didefinisikan

x\,\mathcal{R}\, y jika xy^{-1}\in H

adalah relasi ekuivalensi kelas-\mathcal{R} dari x\in G adalah Hx=\left\{ hx|\, h\in H\right\}

2) Relasi biner \mathcal{L} pada G didefinisikan

x\,\mathcal{L}\, y jika y^{-1}y\in H

adalah relasi ekuivalensi kelas-\mathcal{L} dari x\in G adalah xH=\left\{ xh|\, h\in H\right\}

Himpunan Hx disebut koset kanan dan xH disebut koset kiri, tentu saja keduanya termuat di G.Nah..seperti yang sudah saya katakan xH (begitu juga Hx) merupakan kelas ekuivalensi, itu berarti G akan terpartisi menjadi himpunan-himpunan  xH

Contoh: Diberikan grup \left(\mathbb{Z}_{6},+\right)=\left\{ 0,1,2,3,4,5\right\} dan subgrup H=\left\{ 0,3\right\} , akan kita cari akan kita partisi \left(\mathbb{Z}_{6},+\right) menjadi koset-koset dari H

Salah satu kosetnya adalah H itu sendiri, koset yang memuat 1 adalah 1+\left\{ 0,3\right\} =\left\{ 1,4\right\} . Koset yang memuat 2 adalah 2+\left\{ 0,3\right\} =\left\{ 2,5\right\} . Karena \left\{ 0,3\right\} , \left\{ 1,4\right\} dan \left\{ 2,5\right\} memuat semua anggota \left(\mathbb{Z}_{6},+\right), maka kita telah menemukan semua koset.

Teorema: Banyaknya koset kiri dan kanan dari suatu subgrup adalah sama.

Bukti: Jika Hx, adalah koset kanan dari H maka \left(Hx\right)^{-1}=x^{-1}H^{-1}=x^{-1}H adalah koset kiri. Begitupula sebaliknya xH adalah koset kiri maka \left(xH\right)^{-1}=Hx^{-1} adalah koset kanan, itu artinya kita telah menggkontruksikan pemetaan bijektif antara Hx dengan xH.

Nah..barulah sekarang kita bahas teorema Langrange.

Teorema Langrange: Diberikan H subgrup dari grup berhingga G maka order dari H membagi order dari G.

Bukti: Pertama-tama akan dibuktikan \left|H\right|=\left|xH\right|, caranya? Tunjukan ada pemetaan bijektif

\varphi:H\rightarrow xH

Kita definisikan saja pemetaan tersebut \varphi\left(h\right)=xh untuk setiap h\in H. Pemetaan ini surjektive berdasarkan definisi xH yaitu \left\{ xh|\, h\in H\right\} . Untuk membuktikan \varphi injektive, andaikan \varphi\left(h_{1}\right)=\varphi\left(h_{2}\right) untuk h_{1},h_{2}\in H maka xh_{1}=xh_{2}. Berdasarkan hukum kanselasi (cancellation law) pada grup, diperoleh h_{1}=h_{2}. Terbukti \varphi injektive. Dengan cara yang sama dapat kita tunjukan  \left|H\right|=\left|Hx\right|, maka dapat dismpulkan

Setiap koset baik kiri maupun kanan dari subgrup H mempunyai order yang sama dari order H itu sendiri

Karena xH merupakan kelas ekuivalensi maka G terpartisi menjadi n  koset kiri, yang setiap koset kiri mempunyai anggota sebanyak \left|H\right|. Jadi dapat disimpulkan

\left|G\right|=n\left|H\right|

\left|G\right|/\left|H\right|=n

Jika kita mempunyai sebarang grup berhingga G maka berdasarkan teorema Langrange, order dari subgrupnya akan selalu membagi order dari G tersebut

Contoh: Diberikan grup \left(\mathbb{Z}_{6},+\right)=\left\{ 0,1,2,3,4,5\right\} dan 2 subgrup H_1=\left\{ 0,3\right\} dan H_2=\left\{ 0,2,4\right\} maka

\left|G\right|/\left|H_1\right|=3

\left|G\right|/\left|H_2\right|=2

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungikaos.ariaturns.com**

13 thoughts on “Teorema Lagrange

  1. mas minta tlg dong,, membuktikan Jika K,H,G adalah grup dengan sifat K<H<G maka [G:K]=[G:K].[H=K], dimana G adalah grup berhingga
    trims

  2. bang.. tau gk bukti dr teorema ni,,
    Syarat perlu bagi sebuah fungsi f(x) dengan kendala g_f (X)= 0, dengan j=1,2,…,m agar mempunyai minimum relative pada titik X^* adalah derivasi parsial pertama dari fungsi lagrangenya yang didefinisikan sebagai L=L(x_1,x_2,…,x_n,λ_1 λ_2,…,λ_3) terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s