himpunan terbuka dan tertutup pada topologi

Postingan ini merupakan lanjutan dari postingan kemarin. Kemarin telah kita bahas bahwa ruang topologi adalah pasangan himpunan \left(X,\tau\right) dengan \tau berisikan himpunan-himpunan bagian dari X. Nah isi dari \tau ini lah yang disebut himpunan terbuka

Definisi 1: Untuk sebarang ruang topologi \left(X,\tau\right). Anggota-anggota dari \tau dikatakan himpunan terbuka.

Teorema 2: Untuk sebarang ruang topologi \left(X,\tau\right) maka

(i) X dan \emptyset adalah himpunan terbuka.

(ii) Gabungan (berhingga atau tak-hingga) dari himpunan terbuka adalah himpunan terbuka.

(iii) Irisan berhingga dari himpunan terbuka adalah himpunan terbuka.

Nah..dari teorema 2 ini pastilah timbul pertanyaan: Gabungan tak-hingga himpunan terbuka adalah terbuka, tapi apakah irisan tak-hingga dari himpunan terbuka pastilah terbuka? Jawabannya “tidak”

Contoh 3: Diberikan himpunan bilangan asli \mathbb{N} dan \tau memuat \emptyset, \mathbb{N} dan S himpunan bagian dari \mathbb{N} dengab komplement S didalam \mathbb{N} adalah himpunan berhingga. Dengan mudah kita cek \tau merupakan topologi. Untuk setiap bilangan asli n didefinisikan himpunan S_n sebagai berikut

S_{n}=\left\{ 1\right\} \cup\left\{ n+1\right\} \cup\left\{ n+2\right\} \cup\left\{ n+3\right\} \cup\ldots=\left\{ 1\right\} \cup\underset{m=n+1}{\overset{\infty}{\cup}}\left\{ m\right\}

Jelas setiap S_n merupakan himpunan terbuka didalam topologi \tau, karena komplementnya merupakan himpunan berhingga. Akan tetapi

\underset{n=1}{\overset{\infty}{\cap}}S_{n}=\left\{ 1\right\}

Komplement dari \left\{ 1\right\} bukanlah \mathbb{N} ataupun himpunan berhingga, itu artinya \left\{ 1\right\} bukanlah himpunan terbuka. Telah kita tunjukan irisan tak-hingga dari himpunan terbuka S_n tidaklah terbuka.

Selanjutnya jika ada yang terbuka pastilah ada yang tertutup, himpunan tertutup adalah komplement dari himpunan terbuka.

Definisi 4: Untuk sebarang ruang topologi \left(X,\tau\right), suatu himpunan bagian S dari X dikatakan himpunan tertutup jika komplomentnya merupakan himpunan terbuka pada \left(X,\tau\right).

Contoh 5: Diberikan ruang topologi \left(X,\tau_1\right), dengan X=\left\{ a,b,c,d,e,f\right\} dan \tau_1=\left\{ X,\emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,c,d\right\} ,\left\{ b,c,d,e,f\right\} \right\}

Apa saja himpunan tertutup dari \left(X,\tau_1\right)? Tentu saja komplement dari himpunan-himpunan didalam \tau_1

X, \emptyset, \left\{ b,c,d,e,f\right\} , \left\{ a,b,e,f\right\} , \left\{ b,e,f\right\} , \left\{ b,e,f\right\} dan \left\{ a\right\}

Teorema pada himpunan tertutup serupa dengan terorema pada himpunan terbuka (teorema 2)

Teorema 6: Untuk sebarang ruang topologi \left(X,\tau\right) maka

(i) X dan \emptyset adalah himpunan tertutup.

(ii) Gabungan (berhingga atau tak-hingga) dari himpunan tertutup adalah himpunan tertutup.

(iii) Irisan berhingga dari himpunan tertutup adalah himpunan tertutup.

Penamaan “terbuka” dan “tertutup” menemukan sedikit permasalahan (kalau boleh dibilang begitu), bahwa ada himpunan terbuka sekaligus merupakan himpunan tertutup. Lebih jauh lagi ada himpunan yang tidak terbuka dan tidak tertutup. Nah sekarang perhatikan contoh 5, kita lihat bahwa

  • himpunan \left\{ a\right\} dan \left\{ b,c,d,e,f\right\} adalah himpunan terbuka dan tertutup
  • himpunan \left\{ b,c\right\} tidak terbuka ataupun tertutup
  • himpunan \left\{ c,d\right\} terbuka tetapi tidak tertutup
  • himpunan \left\{ a,b,e,f\right\} tertutup tetapi tidak terbuka.

Pada ruang diskrit semua himpunan adalah terbuka dan tertutup tetapi pada ruang indiskrit \left(X,\tau\right) semua himpunan bagian dari X kecua X dan \emptyset tidaklah terbuka ataupun tertutup.

Nah..karena ada himpunan yang terbuka dan juga tertutup maka timbul definisi sebagai berikut

Definisi 7: Himpunan bagian S dari ruang topologi \left(X,\tau\right) dikatakan clopen (closed and open) jika terbuka dan tertutup pada ruang topologi \left(X,\tau\right).

Setiap ruang topologi \left(X,\tau\right), himpunan X dan \emptyset adalah clopen

Pada ruang disktrit \emptyset, setiap himpunan bagian dari X adalah clopen

Pada ruang indiskrit himpunan clopen hanyalah X dan \emptyset

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungikaos.ariaturns.com**

17 thoughts on “himpunan terbuka dan tertutup pada topologi

  1. boleh nanya gak?
    aku punya tugas kuliah
    buktikan jika himpunan A mempunyai n elemen, diaman n adalah bilangan bulat positif. maka buktIkan powerset dari A adalah 2^n. (petunjuk A subset B.dan A assosiet dengan setiap anggota A .

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s