barisan konvergen

Kali ini saya mau membahas barisan dan kekonvergenan

Barisan

 

Definisi: Suatu barisan (pada bilangan real) adalah suatu fungsi pada \mathbb{N} himpuan bilangan asli dengan range-nya (daerah hasilnya) dalam \mathbb{R}.

Dengan kata lain barisan pada \mathbb{R}. memasangkan setiap bilangan asli n=1,2,3,.. ke suatu bilangan real. Bilangan real yang diperoleh disebut nilai dari barisan. Umumnya suatu bilangan real yang dipasangkan ke suatu n\in\mathbb{N} dinotasikan x_{n}. Sedangkan barisan X:\,\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R} dinotasikan X=\left(x_{n},n\in\mathbb{N}\right).

Contoh

X=\left(2n,\, n\in\mathbb{N}\right) adalab barisan 2, 6, 8, 10, …

X=\left(\frac{1}{n},\, n\in\mathbb{N}\right) adalah barisan 1, 1/2, 1/3,…

X=\left(3,\, n\in\mathbb{N}\right) adalah barisan konstantanta 3, 3, 3,..

Konvergen

Para matematikawan menyadari ada barisan-barisan yang mempunyai sifat semakin besar n maka nilai x_{n} akan mendekati suatu nilai L. Sebagai contoh Y=\left(\frac{1}{n},\, n\in\mathbb{N}\right). Semakin besar n maka y_{n} akan mendekati nol tetapi tidak pernah mencapai nol. (kenapa?).  Jika x_{n} mendekati L seiring membesarnya n lalu kita notasikan \epsilon sebagai jarak antara x_{n} dengan L, dengan mudah kita ketahui nilai \epsilon akan semakin kecil jika n membesar. Begitu pula sebaliknya \epsilon akan membesar jika n mengecil. Pertanyaannya adalah berapa minimal n sedemikan hingga jika diambil suatu \epsilon, jarak x_{n} dengan L akan selalu kurang dari \epsilon?

Pertanyaan inilah yang merupakan konsep dasar dari konvergen, untuk selanjutnya “minimal n” akan dinotasikan k\left(\epsilon\right)

 

Definisi: Diberiksan suatu barisan X=\left(x_{n},n\in\mathbb{N}\right), suatu bilangan real L dikatakan limit dari barisan X, jika untuk sebarang bilangan positif \epsilon>0 terdapat suatu bilangan asli k\left(\epsilon\right) sedemikain hingga untuk semua bilangan asli n dengan n\geq k\left(\epsilon\right) berlaku \left|x_{n}-L\right|<\epsilon. Jika L merupakan limit dari barisan X maka dikatakan X konvergen ke L. Jika barisan X tidak mempunyai nilai limit maka dikatakan barisan tersebut divergen.

 

Yang perlu diperhatikan adalah x_{n}\neq L. Notasi k\left(\epsilon\right) menandakan bahwa pemilihan nilai k\left(\epsilon\right) tergantung dari pemilihan \epsilon. Jika suatu barisan X konvergen ke L maka dinotasikan L=\lim\, X

Contoh

1. Buktikan 0=\lim\,\left(\frac{1}{n}\right)

Harus dibuktikan untuk setiap \epsilon>0 terdapat suatu bilangan asli k\left(\epsilon\right) sedemikain hingga untuk semua bilangan asli n dengan n\geq k\left(\epsilon\right) berlaku \left|\frac{1}{n}-0\right|<\epsilon.

Ambil sebarang \epsilon>0 maka \frac{1}{\epsilon}>0. Berdasarkan sifat Archimedean maka terdapat bilangan asli k\left(\epsilon\right)>\frac{1}{\epsilon}. Untuk semua bilangan asli n\geq k\left(\epsilon\right) maka n>\frac{1}{\epsilon}, diperoleh \frac{1}{n}<\epsilon. Jadi untuk semua n\geq k\left(\epsilon\right) berlaku

 

\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\epsilon

Terbukti barisan \left(\frac{1}{n}\right) konvergen ke 0. Karena untuk semua bilangan asli n\geq k\left(\epsilon\right) dengan k\left(\epsilon\right)>\frac{1}{\epsilon}, jarak \frac{1}{n} dengan 0 akan selalu kurang dari \epsilon tidak peduli berapapun nilainya.

 

2. Buktikan 0=\lim\,\left(1/n^{2}\right)

kalian buktikan sendiri yach :) , caranya sama kok

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

10 thoughts on “barisan konvergen

  1. ehmm.. kenapa yah mesti kalo searching konvergensi pada barisan yang berada pada ruang bernorma selalu muncul hanya pada \mathbb{R} aja?
    kira2 masnya ini ada cita2 menulis yang pada ruang bernorma ga ya?

  2. carilah barisan konvergen dan barisan divergen, jikan keduanya dijumlahkan maka akan menghasilkan barisan divergen

  3. Asslamualaikum,bagus banget bahan barisan konvergen dan divergen ini,bisa menjadi tambahan kulia saya……. nih.tambah lagi yaa mas bahannya……………

  4. assalamu ‘alaikum..salam kenal dri inna kak..kak dede punya tgs analisis real, kakak bisa bantu tdk??? mhon bantuanx kak..:-)

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s