Fibonacci, rumus binet dan aljabar linier

By Posted in aljabar abstrak, pembuktian Tagged , , , , 37 Comments

Saya yakin sudah familiar dengan bilangan Fibonacci atau disebut juga deret fibonacci. Suatu pola bilangan yang sederhana pada matematika tetapi ajaibnya pola tersebut banyak muncul di alam. Semua berawal dari 0 dan 1 lalu bilangan berikutnya merupakan hasil penhumlahan 2 bilangan sebelumnya

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

Bagaimana kita mencari bilangan ke-1000? atau ke-505? Untuk mencari bilangan ke-n dari bilangan fibonacci kita menggunakan rumus binet. Rumus tersebut berkata.

{\displaystyle F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right)}

Ada beberapa cara untuk membuktikan rumus tersebut, dengan rekursif, dengan induksi dll. Sahabat saya Hendry Dext telah menuliskan pembuktian rumus binet. Saya juga mau membuktikan rumus binet tetapi dengan metode yang berbeda dengan Hendry. Saya akan menggunakan aljabar linier.

Pertama-tama kita akan membentuk sistem persamaan linier dengan 2 persamaan. Kita tahu bahwa suku ke n+2 fibonacci merupakan penjumlahan dari suku  ke n+1 dan suku ke n. Kita peroleh persamaan yang pertama  F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}. Selanjutnya kita butu persamaan ke-2, cukup persamaan sederhana F_{n+1}=F_{n+1}+0. Kita peroleh sistem persamaan linier

F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}

F_{n+1}=F_{n+1}+0

Jika sistem persamaandiatas diubah ke dalam persamaan matriks, diperoleh

\left[\begin{array}{c}F_{n+2}\\F_{n+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}F_{n+1}\\F_{n}\end{array}\right]

Oya sebelumnya notasi F_n merupakan suku ke-n dari fibonacci dengan F_0=0 dan F_1=1.

Jika kita notasikan U_{n+1}=\left[{F_{n+2}\atop F_{n+1}}\right], A=\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right] dan U_{n}=\left[{F_{n+1}\atop F_{n}}\right]. Kita peroleh aturan dalam fibonacci

U_{n+1}=AU_{n}

Nah sekarang mari kita mulai menghitung

Jadi diperoleh rumus umum

u_n=A^nu_0

\left[{F_{n+1}\atop F_{n}}\right]=A^{n}\left[{1\atop 0}\right]

Nah..sekarang pertanyaannya adalah bagaimana menghitung pangkat ke-n dari matriks A secara cepat?

Cara cepatnya adalah dengan menggunakan 2 matriks spesial S dan P. Matriks P adalah matriks diagonal yang memuat nilai-nilai eigen dari matriks A

P=\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1} & 0\\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right]

Sedangkan matriks S adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor-vektor eigen dari A.

S=\left[v_{1}\, v_{2}\right]

diperoleh

A=SPS^{-1}

Berdasarkan persamaan diatas, dengan mudah kita dapet menghitung A^2

A^2=SPS^{-1}SPS^{-1}

A^2=SPIPS^{-1}

A^2=SP^2S^{-1}

Karena P merupakan matriks diagonal maka P^2=\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1}^2 & 0\\ 0 & \lambda_{2}^2\end{array}\right]

Dengan cara sama kita mendapatkan A^3=SP^3S^{-1}, dengan P^3=\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1}^3 & 0\\ 0 & \lambda_{2}^3\end{array}\right]

Jadi dapat disimpulkan bahwa rumus mencari pangkat ke-n dari matriks A adalah

A^n=SP^nS^{-1}

Nah sekarang berapa vektor eigen dan nilai eigen dari A. Saya tidak akan melakukan perhitungan disini. Nilai egin dari A adalah \lambda_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} dan \lambda_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}. Sedangkan vektor eigennya adalah v_{1}=\left[{\lambda_{1}\atop 1}\right] dan v_{2}=\left[{\lambda_{2}\atop 1}\right]. Silahkan kalain cek sendiri Av_1=\lambda_{1}v_1 dan Av_2=\lambda_{1}v_2 .

Kita peroleh

S=\left[\begin{array}{cc}\lambda_{1} & \lambda_{2}\\1 & 1\end{array}\right]

dan

S^{-1}=\frac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left[\begin{array}{cc}1 & -\lambda_{2}\\-1 & \lambda_{1}\end{array}\right]

Itu berarti kita peroleh

u_n=A^nu_0.

u_n=SP^nS^{-1}\left[{1\atop 0}\right]

u_{n}=SP^{n}\frac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left[{1\atop -1}\right]

u_{n}=S\frac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left[{\lambda_{1}^{n}\atop -\lambda_{2}^{n}}\right]

u_{n}=\frac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left[{\lambda_{1}^{n+1}-\lambda_{2}^{n+1}\atop \lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}}\right]

\left[{F_{n+1}\atop F_{n}}\right]=\frac{1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left[{\lambda_{1}^{n+1}-\lambda_{2}^{n+1}\atop \lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}}\right]

Catetan: \lambda_{1}-\lambda_{2}=\sqrt{5}

Akhirnya kita dapat

F_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\lambda_{1}^{n+1}-\lambda_{2}^{n+1}\right)

F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}\right)

Viola we got binet’s formula

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

About these ads

37 thoughts on “Fibonacci, rumus binet dan aljabar linier”

  1. aslmlkm mas…
    mas mau nanya nee…saya mencari jurnal2 fibonacci dapat suku pertamanya 0 lalu 1,1,2,3,5, . . . .
    tp ada teman jari jurnal juga suku pertama lgsg 1 lalu 1,2,3,5, . . .
    jadi yang benertu yg mana mas..
    klw mas bilang kemaren suku pertamanya 0 kan..itu belum bisa untuk meyakinkan orglain mas,,,
    mas ada buku tak dlm bntk file mas..yg bener2 menyebutkan suku pertama 0,..
    karena klw udh ada di buku org baru percaya mas….tlg klw ada krm ke email
    insanwibawanto@yahoo.com

    Reply

    • Saya kutip wikipedia

      The Fibonacci sequence is named after Leonardo of Pisa, who was known as Fibonacci. Fibonacci’s 1202 book Liber Abaci introduced the sequence to Western European mathematics,[4] although the sequence had been described earlier in Indian mathematics.[5][6][7] By modern convention, the sequence begins either with F0 = 0 or with F1 = 1. The Liber Abaci began the sequence with F1 = 1, without an initial 0.

      Reply

  2. mas mengapa di asumsikan ( ar^n ) dalam pembuktian rumus binet dengan pendekatan geometri. bukannya klw barisan geometri tu ( ar^n-1 ) suku ke-n nya mas

    Reply

    • Dalam pembuktian dengan mengunakan barisan geometri, diasumsikan F_{n}=ar^{n}.
      Mengapa bukan F_{n}=ar^{n-1}? Itu kan pertanyaanmu
      Nah…kita lihat saja apa yang terjadi jika diasumsikan F_{n}=ar^{n-1}?
      kita tahu suku pertama Fibonacci adalah 0, diperoleh
      F_{1}=0=ar^{1-1}=ar^{0}=a
      kita mendapatkan a=0 padahal a tidak boleh nol

      Reply

      • mas suku pertama bukannya 1 mas,,,,kan n itu menyatakan bulan.
        bulan pertama ( n=1),klw n=0 itu kan mula2 sebelum kelinci di letakkan di padang rumput mas . ..
        tolong penjelasannya ya mas . . .

        Reply

        • penjelasan saya sebelumnya memang kurang tepat jd membuatmu bingung
          Ya fiboncci dimulai dari sukuk e-0 akan tetapi jika mengunakan pembuktian dengan pendekatan geometri.
          Kita mengasumsikan fibonacci adalah barisan geometri, barisan geometri dimulai suku ke-1 maka dalam pembuktian dengan pendekatan geometri, suku pertama fibonacci adalah 0

          Reply

  3. mas..lagi2 nanya ne..
    klw saya baca mas..pembuktian rumus binet dengan pendekatan secara geometrik…itu di asumsikan ( ar^n ) mengapa mas…padahal suku ke-n pada barisan geometri tu ( ar^n-1 ) tolong penjelasannya ya mas..
    makasih banyak..

    Reply

  6. mas..rumus binet kan utk mencari suku k n…..
    tp kle kita cari suku umpamanya ke 200…itukan lama juga..soalnya dia ada tanda akarnya juga.jd sebenarnya fungsi rumus binet tu penggunaannya seperti apa.

    Reply

  8. bagaimana cara mengerjakan contoh ini ???
    seorang pengusahamaterial mengangkut 120 ton barang dari gudang A ke gudang B. untuk keperluan ini sekurang-kurangnya diperlukan 50 kendaraan truk yang terdiri dari truk jenis 1 dengan kapasitas 3 ton dan truk jenis 2 dengan kapasitas 2 ton. biaya sewa jenis truk 1 adalah Rp. 50,000.- dan truk jenis 2 adalah Rp. 40,000.-.
    pertanyaannya ,,,,
    berapa masing-masing jenis truk yang harus disewa agar biayanya minimum, dan berapa besarnya biaya yang dikeluarkan???

    saya tidak mengerti caranya gimna untuk menyelesaikan ini,
    oleh karena itu saya mau tau bagai mana cara untuk mengerjakan ini, trima kasih

    Reply

  9. gimana kalo d buktiin pake program,, kok malah hasil dari suku ke-3 = “4″ bukannya “2″… apakah program di komputer bisa berbohong atau memang adanya kesalahan??
    di bahasa C = 1/sqrt(5)*(pow((1+sqrt(5)/2),a))-(pow((1-sqrt(5)/2),a)) = 1/√5 (((1+ √5)/2)^2 – ((1- √5)/2)^2) (http://goo.gl/Rk0xf) :) Thx..

    Reply

  10. salam kenal mas aria, saya orang yang ingn seal belajar matematika. Saya ingin tahu bagaimana menentukan jumlah suku ke – n suatu deret. Misalnya menentuan jumah deret pada pola barisan persegi. tks sebelumnya

    Reply

  15. pengen nanya tentang integral donk,
    integral dari 1/ln (x) dx apaan yah?? tlng beserta penjelasannya yah….. makasih…..

    Reply

  16. Mas.. ada refrensi lain gak klo barisan fibonacci itu di generalisasi sampe derajat n (penjumlahan bilanganx gak hanya 2 bil sebelumx tp lebih) ??

    Reply

  17. Halaman ini ada LaTeX-nya ya? Sintaks teks tanpa gambarnya masih sulit dimengerti jika browsing tanpa gambar. Selain MathML (memang masih terlalu sulit), LaTeX (plus bantuan plugin dan modul widget lain) dan capture-crop image (paling sederhana), apakah ada cara lain menampilkan sintaks matematika seperti di atas?

    Reply

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Change )

Cancel

Connecting to %s