Teorema Fundamental Aritmatika

Saya yakin kalian sudah tahu apa itu bilangan prima, bilangan asli yang hanya mempunyai 2 faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Lawan dari bilangan prima adalah bilangan komposite yaitu bilangan asli yang mempunyai faktor selain 1 dan bilangan itu sendiri. Teorema Fundamental Aritmatika (TFA) menjelaskan bagiamana hubungan kedua jenis bilangan tersebut. TFA menyatakan

Setiap bilangan komposite merupakan hasil perkalian bilangan-bilangan prima dengan cara yang unik

Contoh: 12=2×2×4, 85=17×5, 1000=2×2×2×5×5×5

Apa yang dimaksud “cara yang unik”?

Dari contoh diatas 1000 mempunyai faktor prima 2 dan 5 yang dimaksud dengan “cara yang unik” tidak ada bilang prima lain selain 2 dan 5 yang menjadi faktor dari 1000. Jika kita mempunyai bilangan komposite lalu kita memfaktorkannya apapun cara memfaktorkannya kita akan selalu mendapatkan bilangan-bilangan prima yang sama. Setiap bilangan komposite tidak mungkin mempunyai 2 buah himpunan faktor prima yang berbeda, itulah yang dimaksud “cara yang unik” dalam FTA.

Dengan FTA kita bisa memandang bilangan prima sebgai atom yang menyusun bilangan komposite. Kita bisa bisa memandang bilangan komposite sebagai molekul dengan bilangan prima sebgai atomnya. Dalam ilmu kimia, setiap molekul memepunyai atom-atom penyusun yang unik, tidak ada 2 buah molekul berbeda yang mempunyai atom-atom yang sama. Hal yang serupa juga berlaku dalam bilangan komposite menurut FTA semua bilangn komposite mempunyai faktorisasi prima yang unik, tidak ada 2 bilangan komposite berbeda yang mempunyai faktorisasi yang sama. Itulah  kenapa teorema ini dikatakan Fundamental.

FTA juga merupakan alesan yang bagus kenapa 1 bukan bilangan prima. Andaikan 1 merupakan bilangan prima maka setiap bilangan kompsite mempunyai faktor prima yang tak hingga banyaknya.

Bukti

Selanjutnya kita akan membuktikan FTA. Andaikan saja ada bilangan komposite terkecil yang tidak mempunyai faktorisasi prima, sebut saja n dan n merupakan hasil perkalian dari bilangan asli a dan b dengan 1<a,b<n

n=a×b

Karena n merupakan bilangan komposite terkecil yang tidak mempunyai faktorisai prima maka a dan b mempunyai faktorisasi prima. Nah itu berakibat n akan mempunyai faktorisasi prima. Kontradiksi. Itu berarti mustahil ada bilangan komposite yang tidak mempuyai faktorisasi prima, mustahil ada bilangan komposite yang bukan hasil dari perkalian bilangan-bilangan prima.

Apakah kita telah membuktikan FTA? Belum, kita masih harus membuktikan frase terakhir dari FTA “cara yang unik”. Kita masih harus membuktikan faktorisasi prima adalah unik. Untuk membuktikan hal tersebut kita menggunakan Lemma yang menyatakan

Lemma 1

Diberikan bilangan prima p yang membagi hasil perkalian a×b maka p membagi a atau p membagi b.

Lemma diatas merupakan sifat khusus dari bilangan prima. Kita tahu 6 membagi 8×3 tetapi 6 tidak membagi 8 dan juga 3, kenapa? Karena 6 bukan bilangan prima.

Nah sekarang andaikan ada bilangan komposite n yang mempunyai 2 faktorisasi prima

n=p_{1}\times p_{2}\times\ldots p_{i}=q_{1}\times q_{2}\times\ldots q_{t}

dengan i\leq t.

n mempunyai 2 himpunan faktorisasi A=\left\{ p_{1},p_{2},\ldots p_{i}\right\} dan B=\left\{ q_{1},q_{2},\ldots q_{i}\right\} .

Akan ditunjukan A=B.

Diketahui p_1 membagi n maka berdasarkan lemma 1. p_1 membagi salah satu elemen B, misalkan saja p_1 membagi q_3. Karena kedua-duanya bilangan prima maka p_1=q_3. Jadi himpunan B beranggotakan

B=\left\{ q_{1},q_{2},p_{1}\ldots q_{t}\right\}

Ulangi terus prosedur diatas maka kita mendapatkan

B=\left\{ p_{1},p_{2},p_{3},\ldots p_{i},q_{i+1},q_{i+2},\ldots,q_{t}\right\} .

Itu berarti

n=p_{1}\times p_{2}\times\ldots p_{i}=p_{1}\times p_{2}\times\ldots p_{i}\times q_{i+1}\times q_{i+2}\times\ldots\times q_{t}

maka jelas q_{i+1}=q_{i+2}=\ldots=q_{t}=1. Karena 1 bukan prima maka q_{i+1},q,\ldots,q_{t} dapat dicoret dari B. Dengan ini dapat disimpulkan

A=B

Nah..kita telah membuktikan “cara yang unik”. Itu artinya pembuktian FTA telah lengkap

QED

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

4 thoughts on “Teorema Fundamental Aritmatika

  1. Teorema ini dapat juga dilihat dengan konsep Daerah Faktorisasi Tunggal (Unique Factorization Domain) pada suatu Daerah Integral, yaitu setiap elemennya dapat dinyatakan secara tunggal sebagai produk berhingga dari elemen2 iredusibel. Contohnya pada ring Z (integer) dan F[x]: ring polinomial dg indeterminate x dan koefisien dalam field F.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s