Ketiga-tiganya mempunyai kardinalitas yang sama

Diberikan himpunan A, kardinalitas dari A dinotasikan |A| adalah banyaknya elemen dari A. Misalkan saja A={u,j,k,a} maka |A|=4. Dalam matematika dua buah himpunan dikatakan mempunyai kardinalitas yang sama |A|=|B| jika terdapat fungsi bijektif dari A ke B (atau sebaliknya).

Okey..saya anggap kalian sudah tau mengenai himpunan bilangan asli \mathbb{N}, himpunan bilangan bulat \mathbb{Z} dan himpunan bilangan rasional \mathbb{Q} kalau belum tanya mbah google aja yach :)

Kita tahu bahwa \mathbb{Q}\supset\mathbb{Z}\supset\mathbb{N}. Apakah itu berarti \left|\mathbb{Q}\right|>\left|\mathbb{Z}\right|>\left|\mathbb{N}\right|?

Percaya tidak kalau saya bilang ketiga-tiganya mempunyai kardinalitas yang sama \left|\mathbb{Q}\right|=\left|\mathbb{Z}\right|=\left|\mathbb{N}\right|

Nah.. mari saya buktikan.

Pertama tama saya akan membuktikan \left|\mathbb{Z}\right|=\left|\mathbb{N}\right|

Seperti yang saya katakan di atas bahwa untuk 2 buah himpunan mempunyai  kardinalitas sama artinya ada fungsi bijektif yang menghubungkan kedua himpunan. Nah..apakah ada fungsi bijektif dari \mathbb{Z} ke \mathbb{N}? Tentu saja ada fungsi tersebut didefinisikan

g:\,\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{N}

g(x) = \begin{cases} 2|x|,  & \mbox{jika } x < 0 \\ 2x+1, & \mbox{jika }  x \ge 0. \end{cases}

Saya tidak akan membuktikan fungsi di atas bijektif, kalian percaya saja ya ama saya. :D

Q.E.D

Nah..sekarang akan membuktikan \left|\mathbb{Q}\right|=\left|\mathbb{N}\right|

Untuk membuktikan \left|\mathbb{Q}\right|=\left|\mathbb{N}\right| sedikit lebih rumit dibanding membuktikan \left|\mathbb{Z}\right|=\left|\mathbb{N}\right| karena kita harus mengkontruksikan fungsi bijektifnya. Pertama-tama kumpulkan semua bilangan rasional yang positif lalu kita bariskan

baris pertama terdiri dari bilangan-bilangan yang mempunyai bentuk 1/n

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6…

baris kedua mempunyai bentuk 2/n

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6…

baris ketiga mempunyai bentuk 3/n

3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6…

begitu seterusnya, diperoleh

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6…

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6…

3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6…

4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5, 4/6…

Kemudian kita urutkan bilangan dengan cara zig-zag  dimulai dari pojok kiri atas ke kanan selangkah, ke diagonal bawah, ke bawah selangkah lalu ke diagonal atas begitu seterusnya dan hilangkan bilangan yang telah diambil

Kita peroleh urutan

1, 1/2, 2,  3, 1/3, 1/4, 2/3, 3/2, 4, 5…

Sekarang kita tambahkan nol dan pasangan negatifnya

0, 1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 3, -3, 1/3, -1/3, 1/4, -1/4..

Itu berarti kita telah mengurutkan semua bilangan rasional. Jika kita memasangkan 0 ke 1, 1 ke 2, -1 ke 3, 1/2 ke 4 dan seturusnya maka kita telah mendefinisikan fungsi bijektif dari \mathbb{Q} ke \mathbb{N}

Note: Pembuktian rasional diatas dikenal dengan nama “Cantor Zig Zag”

***

Nah saya telah membuktikan \left|\mathbb{Q}\right|=\left|\mathbb{Z}\right|=\left|\mathbb{N}\right|. Cukup aneh bukan ketiga himpunan tersebut mempunyai kardinalitas yang sama.

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

10 thoughts on “Ketiga-tiganya mempunyai kardinalitas yang sama

  1. KAYAKNYA GUA NGGAK MUNGKIN DECH NGURUSIN BEGINIAN! LOE-LOE PADE NGOMONGIN BEGITUAN GUA JADI KAMBING CONGEK TAHU NGGAK SIH LOE!! IH…IH. MERINDING GUA NGELIHAT RUMUS BEGITUAN!!! MUDAH-MUDAHAN INI YANG TERAKHIR DALAM HIDUPKU HA….A

    • Sebenernya saya tidak bicara barisan.
      Himpunan yang bijektif ke \mathbb{N} (atau mempunyai kardinalitas yang sama dengan \mathbb{N}) disebut himpunan countable (dapet dihitung) artinya kita bisa menghitung elemen2 didalamnya 1,2,3,… meskipun proses perhitungan tidak pernah selesai. Cantor zig-zag adalah cara bagaimana kita menghitung elemen2 himpunan bilangan rasional.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s