Ketiga-tiganya mempunyai kardinalitas yang sama

Diberikan himpunan A, kardinalitas dari A dinotasikan |A| adalah banyaknya elemen dari A. Misalkan saja A={u,j,k,a} maka |A|=4. Dalam matematika dua buah himpunan dikatakan mempunyai kardinalitas yang sama |A|=|B| jika terdapat fungsi bijektif dari A ke B (atau sebaliknya).

Okey..saya anggap kalian sudah tau mengenai himpunan bilangan asli , himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan rasional kalau belum tanya mbah google aja yach

Kita tahu bahwa . Apakah itu berarti ?

Percaya tidak kalau saya bilang ketiga-tiganya mempunyai kardinalitas yang sama

Nah.. mari saya buktikan.

Pertama tama saya akan membuktikan

Seperti yang saya katakan di atas bahwa untuk 2 buah himpunan mempunyai  kardinalitas sama artinya ada fungsi bijektif yang menghubungkan kedua himpunan. Nah..apakah ada fungsi bijektif dari ke ? Tentu saja ada fungsi tersebut didefinisikan

Saya tidak akan membuktikan fungsi di atas bijektif, kalian percaya saja ya ama saya.

Q.E.D

Nah..sekarang akan membuktikan

Untuk membuktikan sedikit lebih rumit dibanding membuktikan karena kita harus mengkontruksikan fungsi bijektifnya. Pertama-tama kumpulkan semua bilangan rasional yang positif lalu kita bariskan

baris pertama terdiri dari bilangan-bilangan yang mempunyai bentuk 1/n

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6…

baris kedua mempunyai bentuk 2/n

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6…

baris ketiga mempunyai bentuk 3/n

3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6…

begitu seterusnya, diperoleh

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6…

2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6…

3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6…

4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5, 4/6…

Kemudian kita urutkan bilangan dengan cara zig-zag  dimulai dari pojok kiri atas ke kanan selangkah, ke diagonal bawah, ke bawah selangkah lalu ke diagonal atas begitu seterusnya dan hilangkan bilangan yang telah diambil

Kita peroleh urutan

1, 1/2, 2,  3, 1/3, 1/4, 2/3, 3/2, 4, 5…

Sekarang kita tambahkan nol dan pasangan negatifnya

0, 1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 3, -3, 1/3, -1/3, 1/4, -1/4..

Itu berarti kita telah mengurutkan semua bilangan rasional. Jika kita memasangkan 0 ke 1, 1 ke 2, -1 ke 3, 1/2 ke 4 dan seturusnya maka kita telah mendefinisikan fungsi bijektif dari ke

Note: Pembuktian rasional diatas dikenal dengan nama “Cantor Zig Zag”

***

Nah saya telah membuktikan . Cukup aneh bukan ketiga himpunan tersebut mempunyai kardinalitas yang sama.

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**