definisi dan aksioma

Ada yang nanya ke saya melalui email

mas aria saya lagi bingung nih apa beda aksioma dan definisi

yang saya tau aksioma adalah dasar matematika yang diyakini
kebenarannya tanpa perlu dibuktikan

trus apa bedanya dengan definisi karena ada yang bilang definisi juga
tidak perlu dibuktikan?

Kalo ada waktu (tolong luangkan sedikit waktu ya) dijawab penasaran saya :)

sty.thehybrid@xxx.com

Apa itu aksioma?

Menurut tante Wiki, aksioma adalah

a proposition that is not proved or demonstrated but considered to be either self-evident, or subject to necessary decision. Therefore, its truth is taken for granted, and serves as a starting point for deducing and inferring other (theory dependent) truths.

Sedangkan menurut saya, menurut pemahaman saya selama saya mempelajari Matematika. Saya mengartikan aksioma sebagai aturan main (rules of a game) dari Matematika. Kita mengenal aksioma Peano sebagai aturan main didalam bilangan asli, sedangkan dipostingan emang sudah dari sananya begitu, saya menuliskan 9 aturan/aksioma dari bilangan real.

Apa itu Definisi?

Definisi itu gak ada bedanya dengan istilah atau terminologi. Definisi itu penamaan yang jelas yang tegas dari suatu objek matematika. Kita menamakan bilangan yang lebih besar dari nol dengan nama bilangan positif. Kita menamakan bilangan yang habis dibagi dua dengan nama bilangan genap.

***

Matematika adalah dunia abstrak yang didalamnya terdapat aturan-aturan (rules). Aturan tersebutlah yang kita sebut aksioma. Sedangkan penamaan objek-objek didalamnya, itulah yang disebut dengan definisi. Tugas matematikawan adalah mencari keterhubungan antar objek, mencari sifat-sifat/karakteristik dari suatu objek, menemukan/meciptakan objek baru.  Tentu kesemuanya itu harus berdasarkan aksioma yang ada.

Ya..mudah-mudahan sekarang menjadi jelas apa bedanya aksioma dan definisi.

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

20 thoughts on “definisi dan aksioma

  1. Mas aria…. saya sangat awam sekali tentang yang namanya aksioma, karena aksioma adalah merupakan dasar dimana segala disiplin ilmu itu berpijak. pada prinsipnya aksioma itu sembarang atau brengsek. maka dari itu dimanakah letak keabsahan dari ilmu pengetahuan sementara aksioma itu dibangun berlandaskan asas kebrengsekan. apa lagi aksioma itu sendiri tidak dapat dibuktkan kebenarannya, sangat mustahil sekali yang namanya ilmu pengetahuan yang eksak dan akurat itu sementara aksioma itusendiri tidak dapat dibuktikan kebenarannya.

  2. Mas Aria,
    Perkenalkan; saya orang yang awam dalam disiplin matematika.
    Namun setelah membaca beberapa postingan, saya lalu berkesimpulan (temporary–dan semoga juga kesimpulan ini keliru) bahwa matematika tidak bisa diberi label “benar” ataupun “salah”.
    Mengapa? Sebab semuanya berada dalam wilayah aturan main (rule of game).

    Sehingga, konsekuensinya, selama berkutat dengan matematika kita cuma bisa memperoleh “cocok” atau “tidak cocok” (according to the rule of game), di mana butir pertama seringkali kita sebut benar/true sedangkan yang kedua adalah salah/false.

    Mungkin filsafat bisa memberi solusi? Sejauh yang saya amati, yang satu ini malah makin bikin puyeng.

    Saran mas Aria?

    • Menurut filsafat matematika, Ada beberapa Mazhab dalam matematika, yang saya maksdu dengan mazham adalah sudut pandang filsafat, jika anda berpendapat demekina itu berarti mazhab matematika anda adalah formalism yang menganggap matematika gak lebih dari game of rule. Mungkin dilain waktu akan saya bahas mazhab2 pada matematika

  3. Saya mau bertanya,
    disalah satu blog saya membaca bahwa aksioma itu sama dengan postulat.
    dari materi yang saya terima,
    aksioma itu tidak perlu dibuktikan, namun postulat itu harus dibuktikan lagi.
    bisa kah anda menjelaskan secara jelas kepada saya?

    kemudian,
    postulat dan aksioma itu digunakan untuk membuat atau membuktikan teorema,
    apakah postulat dan aksioma ini bisa disamakan dengan Lemma?

    mohon jawabannya,
    terimakasih…

    • aksioma dan pastulat tu sami mawaon adalah aturan2 dasar dalam matematika yang tidak perlu dibuktikan lagi.
      Sedangkan Lemma adalah “teorema lecil” yang digunakan sebgai batu loncatan untuk membuktikan teorema
      silahkan baca

  4. wah identitas saya terbongkar nih..=) iya saya mat ugm angkatan 2000.

    Saya sendiri sedang terus memikirkan jawaban atas pertanyaan tersebut. Beberapa buku yg saya baca mengatakan bahwa hal itu lebih karena alasan historis sehingga pd akhirnya sebuah aksioma bisa “ekuivalen” dengan sebuah teorema. Tapi saya belum 100% paham, jd msh dlm proses merenungkan.

    Ada 2 matematikawan Indonesia yang saya kenal yang menguasai foundation of mathematics (logic, set theory, axiomatic set theory, dsb):
    1. Prof. Dr. Frans Susilo, S.J.
    Beliau seorang pastor dan dosen di jurusan matematika univ. Sanata Dharma Yogya. Beliau adalah murid langsung dari Prof. Soehakso.Khususnya penelitian beliau lebih banyak pada Fuzzy logic.
    2. Dr. Oki Neswan
    Beliau dosen matematika ITB. Keahliannya terutama pada model theory, sbg contoh mengembangkan suatu model/struktur matematika yg di dalamnya tidak ada tanda sama dengan, dsb.

    Saya dengar2 Prof. Setiadji juga menguasai foundation of math, benar tdk ya?

  5. Axiom of Choice, Tukey’s Lemma, Haussdorff Maximality Principle, Zorn’s Lemma, dan Zermelo’s Well-ordering Principle telah dibuktikan ekuivalen, artinya mana yang diasumsikan dahulu dapat digunakan untuk membuktikan yang lain. Dalam hal ini berarti sebuah aksioma dapat ekuivalen dengan sebuah lemma ataupun prinsip (teorema). Ada pendapat?

    • Anda ini kakak angakatn saya bukan? matematika ugm angk 2000?
      Untuk hal yang ini saya tidak bisa berkomentar, ini terlalu tinggi untuk saya. Sayang Prof Soehakso sudah tidak ada, saya jg ingin menayakan hal serupa. Lebih disayangkan lagi tidak ada matematiwan Indonsia yang mengikuti jejak almarhum berkerja di aksomatic theory, logika n himpunana yang merupakan fondasi dari matematika

  6. Saya mau nimbrung memberikan pendapat, pengertian definisi adalah ungkapan atau pernyataan untuk membatasi persoalan. misalnya definisi barisan adalah fungsi yang domainnya bilangan asli … dst, ini untuk membedakan dengan bukan barisan. Contoh lain adalah definisi limit fungsi yang sudah dibahas dengan baik pada blog ini dan n! di atas. Seringkali kita berputar-putar dalam membuat definisi, untuk menghindari itu, maka dalam matematika dikenal “pernyataan pangkal”, yaitu pernyataan yang tidak perlu didefinisikan lagi dan dianggap jelas bagi orang yang berakal. Misalnya bilangan, titik, garis, dll adalah termasuk pernyataan pangkat.

    Aksioma adalah pernyataan dalam matematika yang sudah disepakati kebenarannya, artinya tidak diperlukan bukti. Ada dua jenis aksioma, yaitu aksioma yang self evident truth dan yang non-self evident truth. Aksioma diperlukan dalam matematika agar kita tidak berputar-putar dalam pembuktian.

    Tentang 0!, itu sebenarnya akibat langsung dari definisi, jadi bisa dikatakan teorema atau corrolary lah. Buktinya sederhana sprt yang ada di http://olimpiade.org/Legacy/viewtopic.php?t=3711 , ingat n!=n.(n-1)…2.1 dapat ditulis menjadi n!=n.(n-1)!, kalau kita substitusi n=1, maka akan didapat 0!=1. trus di forum itu dikatakan kalo n=0 menjadi 0!=0.(0-1)! jadi 0!=0. Bantahan ini salah karena n hanya untuk bilangan asli, sedangkan n=0 bukan bilangan asli. diskusi selanjutnya saya tidak sempat baca kalo ada bantahan lain.

    Kasus lain yang buktinya merupakan akibat langsung dari definsi adalah himpunan kosong subset dari sebarang himpunan.

    • n! faktorial hanya berlaku untuk n bilangan asli, sedangkan kita tahu nol bukan bilangan asli, menurut saya hanya perbedaan sudut pandang antara yang mengatakan 0!=1 adalah definisi dengan yang mengatakan 0!=1 adalah teorema (pernyatan yang harus dibuktikan)
      Yang mengatakan 0!=1 definisi, lha kan dah jelas n! hanya berlaku untuk suatu n bil asli oleh karna itu didefinisikan 0!=1 untuk memudahkan perhitungan.
      Yang mengatakan 0!=1 teorema, itu kan implikasi logis dari sifat2 faktorial dan sifat2 perhitungan kombinasi.
      Ya boleh dibilang 0!=1 itu kasus khusus, kita bisa memandangnya sebagai definisi atau sebagai teorema.

      • Terimakasih atas jawabannya yang cepat, singkat, padat, dan jelas :)

        Saya senang sekali bisa menemukan blog ini dan saat ini sedang membaca2 semua artikel matematika yang mas aria tulis sejak agustus taun lalu.

        Kadang bikin bingung kalau ada perbedaan pendapat dari matematikawan seperti kasus 0!=1 ini, yang menuntut saya untuk berpikir mana pendapat yang bisa saya terima dan mana yang tidak.

        Untuk kasus 0!=1 saya cukup puas dengan pendapat mas aria.

  7. mau nanya lagi nih:

    0!=1 itu termasuknya pernyataan apa? definisi bukan?
    Saya sambungin ke 0!=1 karena masih bingung dengan faktorial ini.

    Diskusi di forum olimpiade pun ada perbedaan pendapat. Ada yang membuktikan seperti yang mas aria pernah tulis tapi dengan sukses di konter (dengan membuktikan bahwa pembuktian 0!=1 itu salah) dan menyimpulkan bahwa 0!=1 itu sudah definisi dan tidak perlu dibuktikan lagi. Kalo pengertiannya gitu berarti definisi = aksioma. Hal tersebut yang bikin saya bingung mengenai definisi dan aksioma.

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s