Diagonal Cantor

2009 April 12
tags: , , ,
by Aria Turns

Jika ada orang yang bertanya ke kamu

Mana yang mempunyai elemen yang lebih banyak I=\left(0,1\right) atau kah \mathbb{R} himpunan semua bilangan real?

Seara, intuisis, secara logika terlihat jelas bahwa himpunan semua bilangan real tentu saja lebih banyak dibanding interval 0 dan 1 tapi bagaimana kalau saya bilang bahwa I dan \mathbb{R} memepunyai elemen yang sama banyaknya atau dinotasikan |I|=|\mathbb{R}|. Tidak masuk akal bukan massa interval 0 dan 1 memepunyai elemen yang sama banyak dengan himpunan semua bilangan real.

Mari saya jelaskan., pertama-tama saya akan menunjukan bahwa |I|>|\mathbb{N}|. Interval I mempunyai elemen yang lebih banyak dari himpunan semua bilangan asli?

Bagaimana cara menunjukannya, apakah dihitung satu-satu elemennya?

Tentu saja tidak, Di Matematika untuk menunjukan himpunan A lebih besar dari B dengan cara menunjukan tidak ada fungsi bijektif dari A ke B, nah sekarang pertanyaannya

Bagaimana cara menunjukan tidak ada fungsi bijektif dari \mathbb{N} ke I ?

Tentu saja kita tidak mungkin memeriksa satu-satu semua fungsi yanga ada, Nah..untuk menunjukannya Cantor menggunakan suatu metode yang dikenal sebagai Diagonal Cantor.  Kita tahu bahwa semua bilangan di I memepunyai bentuk umum 0.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots dimana a_{i}=\left\{ 0,1,2,3,44,5,6,7,8,9\right\} contohnya 0,346346376457…. dan 0,999999…=1.

Sekarang kita andaikan  saja ada  fungsi bijekif G:\mathbb{N}\rightarrow I akan kita tunjukan bahwa hal tersebut mustahil

Misalkan fungsi G ini memetakan

\begin{array}{ccc}1 & \rightarrow & 0.a_{11}a_{12}a_{13}\ldots\\2 & \rightarrow & 0.a_{21}a_{22}a_{23}\ldots\\3 & \rightarrow & 0.a_{31}a_{32}a_{33}\ldots\\4 & \rightarrow & 0.a_{41}a_{42}a_{43}\ldots\\\vdots & \vdots & \vdots\end{array}

Karena fungsi G bijektif maka haruslah semua bilangan di I muncul pada list diatas tapi jika kita bisa mengkontruksikan suatu bilangan pada I yang tidak termuat di list maka kira telah menunjukan bahwa fungsi G mustahil untuk ada

Bagaimana mengkontruksikan bilangan tersebut?

Ambil, b_{1}\in\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\}   dimana b_{1}\neq a_{11} ; b_{2}\in\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\} dimana b_{2}\neq a_{22} ; b_{3}\in\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\} dimana b_{3}\neq a_{33} dan begitu seterusnya. maka terbentuk bilangan b=0,b_{1}b_{2}b_{3}\ldots, jelas bahwa b\in I. Karena G bijektif maka ada suatu n\in\mathbb{N} dimana

G\left(n\right)=b

0,a_{n1}a_{n2}a_{n3}=0,b_{1}b_{2}b_{3}\ldots

padahal menurut kontruksi a_{nn}\neq b_{n}, itu berarti kesaamaan diatas adalah mustahil, dengan kata lain b diluar dari list, b diluar dari daerah hasil /image G padahal G bijektif yang mengharuskan semua elemen di I berada didalan image G,  Ini artinya fungsi bijektif G mustahil untuk ada. Sekarang barulah bisa kita simpulkan |I|>|\mathbb{N}|.

Berdasarkan hipotesis Continuum diperoleh |I|=|\mathbb{R}|

***

Kenapa diambil b_{n}\in\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\} ?

Untuk menghindari munculnya bilangan 0,0000000… dan 0,9999999….

Kenapa disebut Diagonal Cantor?

Karna kita mengkontruksikan b berdasarkan elemen diagonal pada array di list

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

from → Teori Bilangan

4 Responses leave one →
  1. 2009 April 12
    anna permalink

    matematika?? uhm sulit untuk dimengerti…
    pokok bahasan yang anda bahs seperti mat kul anlisis real tp sm skali g real menurutku… Awalnya ku jg bingung pas hrs membedakan mn yang lbh banyak mempunyai elemen antara himp bil real dan himp yg t’dr dr interval 1. tdnya saya pikir ya jawabnnya himp bil real tp setlh di bc lbh lanjut ternyata diantara interval 0-1 jg t’dpt elemen yang tak hingga banyakknya…

    Reply
  2. 2009 April 13
    watchmath permalink

    Untuk membuktikan $|I|=|\mathbb{R}|$ tidak perlu Continuum Hypothesis. Bijeksi bisa dikonstruksi dari fungsi tangent.

    Reply
  3. 2009 September 29
    Andi Zulfikar Manuhutu permalink

    I don’t think I agree with that.
    (0,1) hanya = (1,2)

    Reply

Leave a Reply

Note: You can use basic XHTML in your comments. Your email address will never be published.

Subscribe to this comment feed via RSS