Definisi limit

Seinget saya, saya belajar limit waktu kelas 2 sma (kelas XI sma), entah kalau kurikulum yang sekarang kelas berapa  anak sekolah belajar limit.

Nah..sekarang saya mau nanya apa kalian tahu apa itu limit sebenarnya? apa maksud dari {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\, f(x)=L}?

{\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\, f(x)=L} didefinisikan sebagai berikut

untuk sebarang bilangan real \epsilon>0 (\epsilon dibaca epsilon) maka  terdapat bilangan real  \delta>0 (\delta dibaca delta) dimana 0<|x-a|<\delta yang berakibat  |f(x)-L|<\epsilon

Atau dalam bahasa simbol ditulis

(\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0)\;0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon

Jadi nilai \delta tergantung dari \epsilon. Untuk lebih mudah memahami difinisi yang abstarak diatas perhatikan gambar berikut

limit

Yang dimaksud dengan |f(x)-L|<\epsilon adalah titik persekitaran (neighborhood point) di L dengan titik L di sumbu y pada daerah hasil / image f(x) dengan jarak \epsilon dan 0<|x-a|<\delta adalah titik persekitaran (neighborhood point) di a dengan titik a pada sumbu x dengan jarak \delta.(catetan x\neq a ) Jadi sebenernya yang dimaksud dengan {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\, f(x)=L}adalah korespodensi/relasi antara titik persekitaran di L pada daerahhasil/image f(x) dengan titik persekitaran di a

untuk membuktikan {\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\, f(x)=L} itu benar. Pertama-tama kita ambi sebarang bilangan \epsilon>0 lalu buat titik persekitaran di L dengan jarak \epsilon, |f(x)-L|<\epsilon kemudian kita cari \delta>0 dimana \delta adalah jarak titik persekitaran a,0<|x-a|<\delta dimana titik persekitaran a berkorespondesi dengan titik persekitaranL

Bagaimana mencari \delta>0?

Ada bermacam-macam cara untuk mencari \delta>0 tetapi cara yang paling umun adalah dengan menjabarkan {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon} untuk menemukan 0<|x-a|<\delta

Contoh

1. Buktikan {\displaystyle \lim_{x\rightarrow5}\,7=7}

Pertama-tama kita ambil sebarang bilangan real \epsilon>0.  kita akan mencari \delta>0 dimana berlaku sifat sebagi berikut

Jika 0<|x-5|<\delta maka |7-7|=0<\epsilon. karena asumsi kita \epsilon>0 maka pernyatan

Jika 0<|x-5|<\delta maka |7-7|=0<\epsilon

Akan selalu bernilai benar berapapun \delta>0, kenapa bisa begitu? coba inget lagi logika matematikanya ya..

2. Buktikan {\displaystyle \lim_{x\rightarrow4}2x+2=10}

Pertama tama ambil \epsilon>0 kita peroleh

|2x+2-10|<\epsilon

|2x-8|<\epsilon

2|x-4|<\epsilon

|x-4|<\epsilon/2

ambil \delta=\epsilon/2, kita peroleh jika |x-4|<\delta maka |2x+2-10|<\epsilon

Q.E.D

Gmana sekarang udah paham limit tuch apa? atau malah bingung :mrgreen:

Gambar diambil dari

http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/preclimsoldirectory/PrecLimSol.html#SOLUTION%202

 

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

45 thoughts on “Definisi limit

  1. Kak saya masih bingung dengan definisi limit ini. Bukannya sebenernya cuma dibolak balk doang ya? Dan untuk yg contoh Pertama, kenapa jika 0 < |x – 5| < delta mama |7 – 7| = 0 < epsilon? To long Bantu ya kak, terimakasih.

  2. ooh sy semakin paham ka :D

    jd kalau x itu merupakan elemen,pasti dia memiliki nilai yg sangat kecil kn…utk itu bagaimana kita mengetahui nilai elemen x itu…
    dlm hubungan nya dg titik persekitaran…elemen x terletak dimananya pd delta..apakah ada bukti yg kuat utk mengidentifikasi elemen x tsb ?

    • tergantung nilai c dan deltanya, berapa nilai x itu diluar dari pembahasan limit, limit berbicara mengenai hubungan himpunan persekitaran L dengan himpunan persekitaran c. Mengenai elemen2 dari persektaran L atau pun dari persektaran c, itu diluar pembahasan

  3. lalu kalau begitu hasil dari limit f(x) mndekati c itu sndiri apa ?

    bukannya epsilon itu jarak f(x) ke L ka.. ?

    delta titik prsekitaran di c kn ?,trus kalau delta ataupun epsilon dapat kita tntukan nilainya brp saja..agar diproleh titik prsekitaran pd hubungannya dg delta misalnya,maka x itu tdk boleh sma dg c kn..lalu x itu sndiri brp nilainya..apa bebas ?
    trus deltanya gimana cara kita utk memahaminya ?

    • Oya kebalik, thanks atas koreksinya.
      Yang bisa kita tentukana adalah epsilon sedangkan delta tergantung nilai epsilon yang telah kita tentukan.
      nah x itu adalah elemen dari persekitaran c, dengan kata lain x\in\left(c-\delta,c+\delta\right).
      Jika kita membuat persekitaran dari L, yaitu \left(L-\epsilon,L+\epsilon\right), yang memuat f(x), apakah kita bisa mengkontruksikan persekitran c, \left(c-\delta,c+\delta\right). yang memuat x?
      Inilaha bahasan dari limit fungsi.

  4. kakak sy mau tanya dong,mohon bantuannya ya.. :D

    bukankah L itu hasil dr limit f(x) utk x mndekati bilangan trtentu (katakanlah c)..

    lalu kalau kita subtitusikan nilai x mndekati c ttapi tdk utk x sama dg c,akan diproleh suatu range yg dekat pula dg L bukan ?

    kalau saja fungsi f(x) itu tdk trdifinisikan pd x sma dg c,hal ini karna masalah akurasi kn..sbnarnya range yg dihasilkan pd domain c itu memiliki hasil jika fungsi kita manipulasi atau kita sderhanakan..dn L itu sndiri sbenarnya mrupakan range pd domain c kn..
    ini yg sy tangkap dr pehaman tntang limit

    tp jika kita kmbali pd masalah fungsi awal yg belum dimanipulasikan,L itu dpt dicari dgn memasukan x mndekati c kn,maka diproleh hasil mndekati L,dn L itu adlh hasil limitnya..
    prtanyaan sy bukankah x mndekati c itu mrupakan titik prsekitaran di c yg akan disubtitusikan pd f(x)..nah titik pndekatan ini sma sja dg delta bukan si
    toh klo gtu knp epsilon yg lbih dlu diprmasalahkan ?

    • L BUKAN LAH hasil dr limit f(x) utk x mndekati c
      Limit fungsi berbicara mengenai hubungan epsilon yatu jarak f(x) ke L dengan delta yaitu jarak x ke c.
      BUKAN epsilon yang dipermasalahkan tetapi delta jarak x ke c ini lah dipermasalhakn.
      Kita bebas mentukan nilai epsilon, kita bebas menentukan jarak f(x) ke L, permasalahannya apakah jarak f(x) ke L yang telah kita tentukann ini mempunyai hubungan dengan jarak jarak x ke c

  5. Ass…
    Kk,,saya ada tugas tentang Limit… Harus menjelaskan dari penemu sampai pengerjaan soalnya…
    Apakah kk tau…????heu
    MAkasih juga atas info’y
    sukses slalu ajj:)

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s