Definisi limit

2008 December 17

by Aria Turns

Seinget saya, saya belajar limit waktu kelas 2 sma (kelas XI sma), entah kalau kurikulum yang sekarang kelas berapa anak sekolah belajar limit.

Nah..sekarang saya mau nanya apa kalian tahu apa itu limit sebenarnya? apa maksud dari $\lim_{x\rightarrow a}\, f(x)=L$ ?

$\lim_{x\rightarrow a}\, f(x)=L$ didefinisikan sebagai berikut

untuk sebarang bilangan real $\epsilon>0$ ( $\epsilon$ dibaca epsilon) maka terdapat bilangan real $\delta>0$ ( $\delta$ dibaca delta) dimana $0<|x-a|<\delta$ yang berakibat $|f(x)-L|<\epsilon$

Atau dalam bahasa simbol ditulis

$(\forall\epsilon>0\;\exists\delta>0)\;0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon$

Jadi nilai $\delta$ tergantung dari $\epsilon$ . Untuk lebih mudah memahami difinisi yang abstarak diatas perhatikan gambar berikut

limit

Yang dimaksud dengan $|f(x)-L|<\epsilon$ adalah titik persekitaran (neighborhood point) di $L$ dengan titik $L$ di sumbu y pada daerah hasil / image $f(x)$ dengan jarak $\epsilon$ dan $0<|x-a|<\delta$ adalah titik persekitaran (neighborhood point) di $a$ dengan titik $a$ pada sumbu x dengan jarak $\delta$ .(catetan $x\neq a$ ) Jadi sebenernya yang dimaksud dengan $\lim_{x\rightarrow a}\, f(x)=L$ adalah korespodensi/relasi antara titik persekitaran di $L$ pada daerahhasil/image $f(x)$ dengan titik persekitaran di $a$

untuk membuktikan $\lim_{x\rightarrow a}\, f(x)=L$ itu benar. Pertama-tama kita ambi sebarang bilangan $\epsilon>0$ lalu buat titik persekitaran di $L$ dengan jarak $\epsilon$ , $|f(x)-L|<\epsilon$ kemudian kita cari $\delta>0$ dimana $\delta$ adalah jarak titik persekitaran $a$ , $0<|x-a|<\delta$ dimana titik persekitaran $a$ berkorespondesi dengan titik persekitaran $L$

Bagaimana mencari $\delta>0$ ?

Ada bermacam-macam cara untuk mencari $\delta>0$ tetapi cara yang paling umun adalah dengan menjabarkan $|f(x)-L|<\epsilon$ untuk menemukan $0<|x-a|<\delta$

Contoh

1. Buktikan $\lim_{x\rightarrow5}\,7=7$

Pertama-tama kita ambil sebarang bilangan real $\epsilon>0$ . kita akan mencari $\delta>0$ dimana berlaku sifat sebagi berikut

Jika $0<|x-5|<\delta$ maka $|7-7|=0<\epsilon$ . karena asumsi kita $\epsilon>0$ maka pernyatan

Jika $0<|x-5|<\delta$ maka $|7-7|=0<\epsilon$

Akan selalu bernilai benar berapapun $\delta>0$ , kenapa bisa begitu? coba inget lagi logika matematikanya ya..

2. Buktikan $\lim_{x\rightarrow4}2x+2=10$

Pertama tama ambil $\epsilon>0$ kita peroleh

$|2x+2-10|<\epsilon$

$|2x-8|<\epsilon$

$2|x-4|<\epsilon$

$|x-4|<\epsilon/2$

ambil $\delta=\epsilon/2$ , kita peroleh jika $|x-4|<\delta$ maka $|2x+2-10|<\epsilon$

Q.E.D

Gmana sekarang udah paham limit tuch apa? atau malah bingung

Gambar diambil dari

http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/preclimsoldirectory/PrecLimSol.html#SOLUTION%202

———————————————————————————————————————————————-

**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

23 Responses leave one →

2008 December 18

adit38 permalink

Mas tetet, 0<|x-a|<delta apa ga perlu di tambahkan penjelasan secara eksplisit bahwa x tidak pernah sama dengan a ya??
Walaupun sih, secara implisit jelas di 0<|x-a|, tp pengalaman sy mahasiswa tidak melihat pentingnya bahwa x tdk boleh sama dgn c.

Reply
- 2009 March 1
  
  Doyan Makan permalink
  
  $x\neq c$ adalah syarat mutlak. Kalau tidak, bisa berabe (pembagian dengan nol).
  
  Peace bo!
  
  Reply
2008 December 18

mawi wijna permalink

mas tetet, saya mo ngasih koreksi, boleh? Bilangan epsilon > 0 itu kan diberikan secara sembarang, jadi untuk apa dicari? Yang harus dicari tuh bilangan delta > 0 yang (bisa jadi) berhubungan dengan bilangan epsilon tersebut.

Selain itu untuk x->a, apa ada ketentuan bahwa a boleh sebarang? Setauku sih a itu mesti titik limit (limit point/accumulation point) dari domain fungsi f. Gimana? CMIIW…

Reply
2008 December 18

Aria Turns permalink

@adit38
ya mas, anda benar udah saya beri catetan x tidak boleh sama dengan a
@mawi wija.
Itu tadi saya salah tulis yang saya maksud $\delta$ udah saya koreksi.
Ya emang benar a itu emang titik limit kalo kita lihat sudut pandang topologi

Reply
2008 December 19

watchmath permalink

Ada typo pada contoh 1, seharusnya ditulis $|x-5|$ dan bukan $5-5$ .
Definisi formal dari limit di atas berasal dari intuisi. $f(x)$ bisa dibuat sedikit mungkin ke $L$ asalkan $x$ cukup dekat ke $a$. Seseorang dianggap berhasil menerangkan limit jika sanggup membawa dari intuisi ke definisi formal (saya bukan termasuk yg berhasil )

Reply
- 2009 March 1
  
  Doyan Makan permalink
  
  sampai kapan ketidak-berhasilan ini diterlantarkan?
  
  peace ya!
  
  Reply
2008 December 19

Aria Turns permalink

Wacthmath:
oya anda benara, akan saya koreksi terimakasih

Reply
2009 February 22

reira permalink

hiii..
thnx atas tlisan km ttg limit fgsi..
it sangat2 bguna bg sy yg plajar sma
tp sy kcewa knapa kog gag ad exm soal + pembahasannya??

mungkin cuma it kritik sy
thnx

Reply
- 2009 February 22
  
  Aria Turns permalink
  
  Lha itukan udah saya sertakan 2 contoh soal plus pembahasannya
  
  Reply
2009 February 25

Tukang Makan permalink

Tebakan (baca: soal ujian) buat Anda:

Dalam konsep limit di atas $x\neq a$ (malah Anda kasih warning CATETAN hehehe…).

Mari aku bawa ke konsep garis singgung (rada advanced kalau dikaitkan dengan topik ini tentunya, cuekin aja yah!)

Slope garis singgung di titik P diperoleh dgn membuat hampiran dari slope garis potong PQ dimana Q adalah titik tetangga dekat (neighborhood) yang di-parameterized oleh variable $h$ , kemudian mengambil limit untuk $h\to 0$.

Karena $h\to 0$ berarti $h\neq 0$ maka P tidak berhimpit dengan Q.
Pertanyaannya: jika P dan Q tidak berhimpit, bagaimana bisa “slope dari proses di atas disebut slope garis singgung di titik P” ?

Reply
- 2009 February 25
  
  Aria Turns permalink
  
  Anda bisa saja membuat pertanyaan yang membingungkan ini, sebenernya untuk menjawabnya kita harus paham apa itu slope, apa definisi slope? pengen tau apa itu slope liat sendiri aja di wikipedia
  
  Reply
  - 2009 October 26
    
    Tututu permalink
    
    Garis singgung tu bukannya tidak didefinisikan ya mas?
    Klo definisi garis singgung menurut euclid ‘garis yg memotong kurva di satu titik’ memang tepat utk lingkaran,tapi kurang tepat untuk kurva lain..
2009 February 25

Tukang Makan permalink

gradien garis potong kurva $y=f(x)$ di titik $P(x,f(x))$ dan $Q(x+h,f(x+h))$ adalah

$m_{PQ}(x,h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

gradien garis singgung kurva di titik $P(x,f(x))$ diambil berdasarkan

$lim_{h\to 0} m_{PQ}(x,h)$ .

Jika $h\to 0$ berarti $h\neq 0$ maka titik P dan Q tidak berimpit.

Kalau tidak berhimpit, bagaimana garis tersebut menyinggung kawan?

Reply
2009 February 25

Tukang Makan permalink

gradien garis potong kurva $y=f(x)$ di titik $P(x,f(x))$ dan $Q(x+h,f(x+h))$ adalah

$m_{PQ}(x,h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

gradien garis singgung kurva di titik $P(x,f(x))$ diambil berdasarkan

$lim_{h\to 0} m_{PQ}(x,h)$ .

Jika $h\to 0$ berarti $h\neq 0$ maka titik P dan Q tidak berimpit.

Kalau tidak berhimpit, bagaimana garis tersebut menyinggung kawan?

Reply
2009 February 25

Tukang Makan permalink

VERSI PALING RAPI: (versi di atas kurang rapi, tolong diapus aja mas. Thanks.:D)

gradien garis potong kurva $y=f(x)$ di titik $P(x,f(x))$ dan $Q(x+h,f(x+h))$ adalah

$m_{PQ}(x,h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

gradien garis singgung kurva di titik $P(x,f(x))$ diambil berdasarkan

$latex\displaystyle lim_{h\to 0} m_{PQ}(x,h)$.

Jika $h\to 0$ berarti $h\neq 0$ maka titik P dan Q tidak berimpit.

Kalau tidak berhimpit, bagaimana garis tersebut menyinggung kawan?

Reply
2009 February 25

Tukang Makan permalink

VERSI PALING RAPI:

gradien garis potong kurva $y=f(x)$ di titik $P(x,f(x))$ dan $Q(x+h,f(x+h))$ adalah

$m_{PQ}(x,h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

gradien garis singgung kurva di titik $P(x,f(x))$ diambil berdasarkan

$\displaystyle lim_{h\to 0} m_{PQ}(x,h)$ .

Jika $h\to 0$ berarti $h\neq 0$ maka titik P dan Q tidak berimpit.

Kalau tidak berhimpit, bagaimana garis tersebut menyinggung kawan?

Reply
- 2009 February 26
  
  Aria Turns permalink
  
  apa arti dari kalimat berikut
  
  Sedan dan bus berhimpitan
  
  Artinya jarak sedan dan bus tersebut sangat kecil, tetap harus ada jarak antara sedan dan bus karna kalau gak ada jarak (jaraknya nol) itu berarti sedan berada diatasnya si bus, ya kan?
  Itulah kenapa dinamakan garis singgung bukan garis tabrak
  
  Reply
2009 February 26

Tukang Makan permalink

loh…..!!!!

Coba kita mundur ke kasus non kalkulus.

Tentukan gradien garis $y=mx-1$ supaya menyinggung parabola $y=x^2+1$ .

Prosedur umumnya kita asumsikan titik singgungnya adalah $(x_0,y_0)$ sehingga menghasilkan sistem persamaan $\left\{\begin{cases}y_0&=mx_0-1\\y_0&=x_0^2+1\end{cases}\right.$ . Dengan mengeliminasi $y_0$ kita peroleh persamaan kuadrat dalam $x_0$ . Karena $x_0$ adalah titik singgung maka akar persamaan kuadrat harus tunggal. Artinya $D=b^2-4ac$ dari persamaan kuadrat tersebut harus nol.

Intinya, titik singgung itu tunggal mas.

Reply
- 2009 February 26
  
  Aria Turns permalink
  
  Ya emang tunggal, dari pertanyaan anda sebelumnya, saya menagkap anda kurang paham dengan arti kata “himpit” dan “singgung”, menurut anda apakah dua benda yang yang berhimpitan dan bersingungan mempunyai letak kedudukan/titik posisi yang sama? ini gak ada hubungannya sama sekali dengan matematika
  
  Reply
  - 2009 February 26
    
    Tukang Makan permalink
    
    Karena ini blog matematika, saya akan hindari out of topic.
    Kalau berhimpit terlalu susah dimengerti, mending kembali ke sumber asli yaitu bahasa inggris “coincide”.
    
    Gimana mas?
2009 February 26

Tukang Makan permalink

Aduh mas, kalau gitu saya kembalikan ke bahasa inggris aja.

How to find the slope of the curve? It’s the same as the slope of a line that is tangent to the curve at that point. (A tangent line touches the curve at just one point.)

salah satu sourcenya ada di sini: http://www.tc3.edu/instruct/sbrown/calc/ln021.htm

Reply
- 2009 February 26
  
  Aria Turns permalink
  
  Wee..saya jadi bingun nich anda mo nanya apa sich? nanya yang ini apa yang sebelumnya?
  
  Reply
  - 2009 February 26
    
    Tukang Makan permalink
    
    lah! kembali ke posting awal dong mas.

	Aria Turns on Jawaban yang kreatif
	Donny Oktavian Syah on Jawaban yang kreatif
	Denik Agustito on Kontak
	XhaltE! on Kuliah di Matematika, belajar …
	XhaltE! on Permainan Collatz
	zakimath on Jawaban yang kreatif
	samsul arifin on Jawaban yang kreatif
	XhaltE! on Isi adalah kosong, kosong adal…
	XhaltE! on Isi adalah kosong, kosong adal…
	XhaltE! on Siapa

Ada yang mau baca blog mengenai matematika, gak ya…??

Definisi limit

Leave a Reply

Search

Selamat Datang di Blog Matematika

Langganan Lewat RSS

langganan Lewat Email

Yang sering dibaca

Postingan terakhir

Komentar terakhir

Archives

Categories

Blog teman

Blogroll

Math web or blog

Kelompok Studi Sandi Yogyakarta

Dukung

Yang Nyepam

Meta

Recent Readers