Pembuktian e bilangan irasional

Saya sudah pernah menulis pembuktian pi bilangan irasional, nah kali ini saya akan membuktikan kalo e itu bilangan irasional. kita tahu e didefinisikan sebagai berikut

{\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}}

Kita asumsikan e bilangan rasional artinya e=a/b untuk suatu a dan b bilangan bulat positif. yang berakibat b!e adalah bilangan bulat positif.

kita jabarkan b!e diperoleh

{\displaystyle b!e=b!\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}}

{\displaystyle {\displaystyle b!e=\sum_{n=0}^{b}\frac{b!}{n!}+\sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}}}

Dengan mudah kita ketahui sumation yang pertama {\displaystyle \sum_{n=0}^{b}\frac{b!}{n!}} hasilnya adalah bilangan bulat positif(kenapa bisa begitu? analisa sendiri ya ).

Karena {\displaystyle b!e} dan {\displaystyle \sum_{n=0}^{b}\frac{b!}{n!}} adalah bilangan bulat positif, maka haruslah {\displaystyle \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}} adalah bilangan bulat positif

Nah..apakah {\displaystyle \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}} bilangan bulat positifatau bukan?

mari kita jabarkan {\displaystyle \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}}

{\displaystyle \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}=\frac{b!}{b+1!}+\frac{b!}{b+2!}\ldots}

{\displaystyle =\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\frac{1}{(b+1)(b+2)b+3)}+\ldots}

sekarang kita peroleh

{\displaystyle \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)\ldots}<\frac{1}{(b+1)(b+1)\ldots}}

(Ingat 0<a<b maka 0<1/b<1/a)

maka

{\displaystyle \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}<\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{b+1}\right)^{n}}

dengan menggunakan rumus penjumlahan deret geometris diperoleh

{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{b+1}\right)^{n}=\frac{1}{b}}

berakibat

{\displaystyle \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}<\frac{1}{b}}

karena 0<1/b\leq1 maka

{\displaystyle 0<\sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}<1}

jadi {\displaystyle \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!}} bukan bilangan bulat positif. itu berarti asumsi kita salah maka terbukti e bilangan irasional

QED

 

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

13 thoughts on “Pembuktian e bilangan irasional

  1. Aku senang bisa berkenalan dengan Mas Arya.
    Semoga Tuhan memberkati Mas Arya.
    Btw, Mas, adakah rumus deret geometri atau rumus deret aritmatika dari sepuluh bilangan prima pertama?

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s