kenapa turunan e^x adalah e^x juga

Baru aja nerima e-mail, dari seseorang bernama Boby

Mas, boleh nanya gak, kenapa turunan e^x adalah e^x juga ya?

Pertanyaan yang bagus, saya sendiri juga baru kepikiran kenapa begitu ya? Dalam buku-buku kalkulus hanya dikatakan \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} tanpa ada penjelasannya.

Okey akan saya coba membuktikannya, pertama-tama akan saya buktikan dengan menggunakan definisi dari turunan/derivative. yaitu

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}

Jadi kita peroleh

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{e^{(x+h)}-e^{x}}{h}}

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{e^{x}e^{h}-e^{x}}{h}}

{\displaystyle \underset{h\rightarrow0}{Lim}\frac{e^{x}(e^{h}-1)}{h}}

….

….

Saya mulai bingung nich, soalnya kalo diterusin hasilnya adalah nol. Mm..apa yang salah yach?? Gimana kalo kita ganti metode aja. Gamana kalo kita menggunakan definisi dari e^x aja. Yaitu:

{\displaystyle e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\ldots}

diperoleh

{\displaystyle \frac{d}{dx}e^{x}=\frac{d}{dx}(1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\ldots})

{\displaystyle =0+1+\frac{2x}{2!}+\frac{3x^{2}}{3!}+\frac{4x^{3}}{4!}+\ldots}

{\displaystyle =1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\ldots})

{\displaystyle =e^{x}}

Oalah..tenyata cuman muter-muter , mbolak-mbalik aja to…

 

———————————————————————————————————————————————-
**Ingin mendapatkan kaos unik bertema matematika silahkan kunjungi kaos.ariaturns.com**

21 thoughts on “kenapa turunan e^x adalah e^x juga

  1. mav gan, ane newbie lo matematika ginian… tp ane pernah ngerjain pake cara laen:
    Fungsi bilangan eksponensial pada bilangan euler didefinisikan oleh f(x) = e^x
    Untuk menentukan turunan dari e^x, terlebih dahulu kita definisikan e = lim n -> takhingga pada [( 1 + (1/n)]^n
    dan jika n = 1/h, maka
    e = lim h -> 0 pada [( 1 + h)^(1/h)]
    Nah, sekarang kita akan menurunkan e^x dx
    e^x dx = lim h -> 0 pada (e^(x + h) – e^x)/h ………. (definisi turunan)
    = [(e)^x (e)^h - (e)^x ]/h
    = [( e )^x ((e)^ h - 1)] /h
    = [(e)^x (( 1 + h)^(1/h))^h - 1]/h
    = e^x

  2. Pembuktian pake deret harus sedikit berhati-hati dengan radius kekonvergenan deret.

    @hendry: perlu hati-hati disini, mungkin kita tahu turunan dari ln(x) karena kaitannya dengan e^x. Jadinya mbulet :D.

  3. y = e^x
    ln kedua ruas:
    ln y = x
    turunkan kedua ruas:
    (1/y) dy = dx
    dy/dx = y
    Substitusikan y = e^x
    d(e^x)/dx = e^x
    Terbukti.

    Sebetulnya, butki ini khan ko aria yang buktiin sendiri.. olala..

  4. Boleh nanya ya…

    Bilangan e itu yang 2,71… yah?

    Boleh nggak d(e^x)/dx = e^x itu ditulis

    d(2.71^x)/dx = 2.71^x

    Terus gimana membuktikannya? apa sama dengan cara sebelumnya.

    Trim.
    Nadya.

  5. Nah..justru itu kalao menggunakan definis turunana kita akanmendapat bentuk 0/0 nenurut lhospital penyebut dan pembilang diturunkan,tapi kita sedang mencari kenapa turunan e^x adalaha e^x juga..

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s