Pembuktian pi irasional

Warning: Dibutuhkan pengetahuan mengenai integral dan diverensial untuk mengerti tulisan ini, tapi kalo gak ngerti integral dan deverensial anda hanya perlu percaya apa yang saya tulis benar ;)

Udah pernah saya katakan disini bahwa \pi adalah irasional..

Nah..sekarang saya akan membuktikan bahwa \pi irasional.

Sebenarnya ini mau saya posting kemarin tapi karna saya pembuktiannya lumayan ngejelimet saya butuh waktu tuk mempelajarinya

Ada beberapa cara /metode untuk membuktikan \pi irasional, kali ini cara yang saya pakai adalah cara dari lambert, yang membuktukan \pi irasional pada tahun 1761

Diambil sebarang bilangan bulat positif n dan x\in (0,1), didefinisikan fungsi

{\displaystyle f(x)=\frac{x^{n}(1-x)^{n}}{n!}}

Bisa kita lihat bahwa jika diambil n cukup besar maka akan menghasilkan nilai yang sangat kecil, boleh dibilang mendekati nol.

Dengan menggunakan teori binomial, fungsi tersebut bisa kita tulis menjadi

\displaystyle f(x)=\frac{1}{n!}\sum_{m=n}^{2n}c_mx^m

dengan c_{m} adalah bilangan bulat.

Untuk 0<x<1 maka

{\displaystyle 0<f(x)<\frac{1}{n!}} (2)

Nah sekarang akan diasumsikan \pi^2 rasional . misalkan \pi^{2}=\frac{a}{b} untuk a, b bilangan bulat positif

untuk x\in (0,1) didefinisikan fungsi

\displaystyle G(x)=b^n[\pi^{2n}f(x)-\pi^{2n-2}f''(x)+\pi^{2n-4}f^{(4)}(x)-...+(-1)^nf^{(2n)}(x)]. (3)

Diketahui bahwa f(0)=0 dan f^{(m)}(0)=(0) jika n<m atau 2n<m

tapi jika n<m<2n maka

\displaystyle f^{(m)}(0)=\frac{m!}{n!}c_m,

diketahui bahwa jika x=0 maka f(x)=f(1-x) mempunyai nilai yang sama, maka

G(0) dan G(1) hasilnya adalah bilangan bulat.

Dari persamaan (3) akan ditunjukan:

\displaystyle \frac{d}{dx}[G'(x)\sin{\pi x}-\pi G(x)\cos{\pi x}]

\displaystyle =[G''(x)+\pi^2G(x)]\sin{\pi x}

\displaystyle =b^n\pi^{2n+2}f(x)\sin{\pi x}

\displaystyle =\pi^2a^n \sin{\pi x}f(x).

Kemudian diintegralkan diperoleh

\displaystyle \pi\int_0^1a^n \sin{\pi x}f(x)dx=[\frac{G'(x)\sin{\pi x}}{\pi}-G(x)\cos{\pi x}]_0^1

\displaystyle =G(0)+G(1),

Yang merupakan bilangan bulat positit

padahal menurut (2)

\displaystyle 0<\pi\int_0^1a^n \sin{\pi x}f(x)d<\frac{\pi a^n}{n!}<1.

Untuk n cukup besar kita akan mendapatkan kontradiksi.

QED

Any question? :mrgreen:

Credit:

Thanks, to zaki, yang membantu saya memahami pembuktian diatas

26 thoughts on “Pembuktian pi irasional

  1. Pingback: Okay, dia benar selanjutnya buktikan dengan Induksi « Proof { }

    • Anda mengatakan

      Ambil segitiga sama sama sisi, kita akan mencari luas segitiga tersebut dengan r jarak antara titik pusatnya dengan titik sudutnya. Maka didapat:

      L=3*(1/2)*(r^2)*sin 120

      Hukum Sinus pada sebarang segitiga berkata

      \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2r
      karena kita berbicara segitiga sama sisi yang setiap sisinya sama dan setiap sudutnya mempunyai besar 60 derajat, diperroleh panjang sisi
      \sin\left(60\right)2r=\sqrt{3}r
      Dengan rumus heron, diperoleh luas segitiga sama sisi
      L=\frac{3}{2}\sqrt{3}r.
      Jelas berbeda dengan formula luas segitiga sama sisi mu

      Pertanyaan selanjutnya
      Anda membuat plot nya pake sofware apa?
      semua online ploting yang saya pakai berkata lain, contoh
      wolframalpha
      fooplot.

  2. sebenarnya saya bukan anti pi-irasional, tapi saya hanya menampilkan atau menunjukkan kalau pi itu irasional tetapi orang yang membaca bisa mengerti.

    Begini kalau saya mendefinisikan pi.
    Ambil segitiga sama sama sisi, kita akan mencari luas segitiga tersebut dengan r jarak antara titik pusatnya dengan titik sudutnya. Maka didapat:

    L=3*(1/2)*(r^2)*sin 120

    Ambil segiempat, sama seperti diatas, cari luasnya.

    L=4*(1/2)*(r^2)*sin 90

    Ambil segilima

    L=5*(1/2)*(r^2)*sin 72

    seterusnya sampai segi-n
    maka didapat:

    L=(n+2)*(1/2)*(r^2)*sin {360/(n+2)}
    dengan n adalah bilangan bulat positif, n>1.

    Kita tau lingkaran adalah segi-oo, maka luasnya adalah:

    L=pi*r^2

    dengan pi:

    \pi =\lim_{n \to \infty }(1/2)\left ( n+2 \right )\sin \left ( \frac{360}{n+2} \right )

  3. Secara eksplisit pejelasan diatas sudah benar(walau kita tahu pi adalah perbandingan k/D bukan k/r).

    Sekarang pi “telah dibuktikan adalah bilangan irasional”. Bagaimana kita dapat membuktikan(secara analisi geometri) bahwa kalau keliling rasional pastilah diameternya irasional begitu sebaliknya kalau kelilingnya irasional berarti diameternya rasional?.

    • Oh iya saya sala hahaha…thaks atas koreksinya
      Bagaimana cara membuktikan secara analisis Geometri?
      Bukankah komen saya sebelumnya telah menjawab pertanyaanmu ini, dengan merepresentasikan \pi sebagai rasio antara keleiling dengan diameter kita tekah merepresentasikan \pi secara geometri . Ingat ada banyak cara merepresentasi \pi

  4. misalkan kita belum tahu nilai dari pi(rasional atau irasional). lalu buat sebuah lingkaran dengan jari2 r (bilangan bulat). Misalkan kita buat lingkaran disebut dengan jangka. apakah mungkin keliling yang terukur adalah bilangan irasional? karena apabila tidak irasional berarti pi rasional? sedangkan kalau irasional, bagaimana kita dapat membuktikannya?(kalau kelilingnya irasional)

    • Diketahui \pi=\frac{k}{d} dengan k adalah keliling lingkaran dan d adalah diameter, telah dibuktikan bahwa \pi irasional
      Nah…pertanyaannya
      apa akibatnya terhadap k dan d?
      Akibatnya, pasangan k dan d mustahil keduanya adalah bil irasional, pastilah salah-satu (atau bisa kedua-duanya) dari mereka adalah bil irasional
      Mengapa?
      Andaikan k dan d keduanya adalah bil rasional, misalkan k=\frac{a}{b} dan d=\frac{c}{d} diperoleh
      {\displaystyle \pi=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{cb}}
      merupakan bilangan rasional. Kontradiksi
      Itu berarti Jika diketahui diameter sualu lingkaran adalah bil rasional pastilah kelilingnya adalah bil irasional, begitupula sebaliknya jika diketahui kelilingnya rasional pastilah diameternya adalah irasional

  5. menurut saya pi adalah bilangan rasional, karena pi didapat(dulu pada saat pi pertama kali ditemukan) dari perbandingan antara keliling lingkaran dan diameternya ini berarti pi dapat dibuat dalam bentuk a/b ini jelas kontrakdiksi dengan pernyataan bilangan irasional yang tidak dapat dibuat dalam bentuk a/b.

    • Bilangan rasional berbentu a/b dengan sayarat a dan b nya adalah bilangan bulat. Apakah pasangan keliling dan diameter pada lingkaran keduanya adalah bilangan bulat?

  6. Mas aku pernah baca sekilas (sekilas ,lho) “Ramanujan Notebook” seperti ini. Misal luas lingkaran= persegi a. Maka
    pi.r^2 = a^2

    pi= a^2/r^2, berarti pi rasional. Maksudnya gi mana ini?

  7. @watchmath
    Itu hanya asumsi aja, kita asumsikan \pi^2 rasional tetapi kita malah memperoleh \pi^2 irasional artinya asumsi kita salah karena \pi^2 irasional maka \pi juga irsional
    Kenapa G(0) bulat?
    coba baca lagi postingan diatas, disitu saya mengatakan

    Diketahui bahwa f(0)=0 dan f^{(m)}(0)=(0) jika n<m atau 2n<m

    tapi jika n<m<2n maka

    \displaystyle f^{(m)}(0)=\frac{m!}{n!}c_m,

    maka kita peroleh
    {\displaystyle G(0)=b^{n}\frac{m!}{n!}C_{m}}
    bagaimana sudah jelas?

  8. Pernyataan jika \pi^2 rasional maka \pi rasional tidak tepat. (contohnya untuk a=\sqrt{2}, pernyataan jika a^2 rasional maka a rational adalah pernyataan yang salah). Harusnya jika \pi^2 irasional maka \pi irasional.
    Mengapa G(0) bulat? mohon penjelasannya…

  9. iy… tapi kalo kombinasi selalu ada 2 unsur

    Misalnya 3C2 = 3 atau 4C2 = (4!)/(2!2!) = 6…

    Nah, kalau C_m di sini maksudnya apa?
    Itu yang mau saya tanya.

    Thx

  10. Hebat. bIsa postingan materi tahap dewa… Aku mo nanya.

    Jika c_m itu bilangan bulat, maksudnya:
    c_n itu berapa? c_{n+1} itu berapa? c_{n+2} itu berapa? dan seterusnya? Itu bagian yang membuat saya bingung… =.=”

    Thx very much ^^

Silahkan, tinggalkan komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s